Aprende a resolver ecuaciones cuadraticas ax2+bx+c=0 con la formula general y por factorizacion. Con ejemplos, el discriminante y casos especiales.
Una ecuacion cuadratica tiene la forma ax² + bx + c = 0. Se puede resolver por: 1) Factorizacion (cuando el trinomio factoriza facilmente). 2) Formula general (siempre funciona). 3) Completar el cuadrado (util para derivar la formula general).
x = (-b ± raiz(b²-4ac)) / 2a. El termino b²-4ac se llama discriminante (D) y determina el tipo de soluciones.
Para x²-5x+6=0: busca dos numeros que sumen -5 y multipliquen 6. Son -2 y -3. Factorizacion: (x-2)(x-3)=0. Soluciones: x=2 y x=3. Para saber si factoriza facilmente, calcula el discriminante: si D es cuadrado perfecto (0,1,4,9,16,25...), el trinomio factoriza con numeros enteros. Si no es cuadrado perfecto, usa la formula general directamente.
Las ecuaciones cuadraticas modelan fenomenos con maximos o minimos: la altura de un proyectil en funcion del tiempo (la gravedad genera el termino cuadratico), el area de figuras variables, el costo total de produccion en economia. Cada vez que buscas el punto de maximo beneficio, la distancia de vuelo de una pelota, o cuando una inversion llega a cero, estas resolviendo una ecuacion cuadratica.
Factoriza cuando ves números enteros pequeños y el discriminante es cuadrado perfecto. Usa la fórmula cuando los números son grandes, decimales, o el discriminante no es perfecto.
Si x₁ y x₂ son raíces de ax²+bx+c=0: x₁+x₂=−b/a y x₁×x₂=c/a. Para x²−5x+6: x₁+x₂=5 (2+3=5 ✓) y x₁×x₂=6 (2×3=6 ✓).
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No. Δ>0: dos soluciones distintas. Δ=0: una solución doble (la parábola toca el eje x). Δ<0: no hay soluciones reales.
Sustituye cada valor en la ecuación original. Para x=2 en x²−5x+6: 4−10+6=0 ✓
Solo con coeficientes racionales. Si el discriminante no es cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y la fórmula general es el único método.
Ingresa los coeficientes de ax^2 + bx + c = 0
Metodo 1 — Formula General (siempre funciona)
x = (-b +/- raiz(b^2-4ac)) / 2a
Ejemplo: x^2-5x+6=0: a=1,b=-5,c=6
x=(5+/-raiz(25-24))/2=(5+/-1)/2 -> x=3 o x=2
Metodo 2 — Factorizacion (el mas rapido)
Para x^2+bx+c: busca dos numeros que multipliquen=c y sumen=b.
x^2-5x+6: busca que den 6 y sumen -5: son -2 y -3 -> (x-2)(x-3)=0
Discriminante — Cuantas soluciones hay
D = b^2 - 4ac
D > 0: dos soluciones diferentes | D = 0: una solucion doble | D < 0: sin soluciones reales
Formula General — Siempre Funciona
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a Ejemplo: x²-5x+6=0 → a=1,b=-5,c=6 → D=1 → x=(5±1)/2 → x=3 o x=2
Factorizacion — El Metodo Rapido
Para x²+bx+c: busca dos numeros que den c y sumen b. x²+7x+12: numeros que den 12 y sumen 7 → 3 y 4 → (x+3)(x+4)=0
Discriminante — Cuantas Soluciones
D=b²-4ac | D>0: dos soluciones | D=0: raiz doble | D<0: sin soluciones reales Truco: suma de raices=-b/a | producto=c/a