Aprende a resolver ecuaciones cuadraticas ax2+bx+c=0 con la formula general y por factorizacion. Con ejemplos, el discriminante y casos especiales.
Una ecuacion cuadratica tiene la forma ax² + bx + c = 0. Se puede resolver por: 1) Factorizacion (cuando el trinomio factoriza facilmente). 2) Formula general (siempre funciona). 3) Completar el cuadrado (util para derivar la formula general).
x = (-b ± raiz(b²-4ac)) / 2a. El termino b²-4ac se llama discriminante (D) y determina el tipo de soluciones.
Para x²-5x+6=0: busca dos numeros que sumen -5 y multipliquen 6. Son -2 y -3. Factorizacion: (x-2)(x-3)=0. Soluciones: x=2 y x=3. Para saber si factoriza facilmente, calcula el discriminante: si D es cuadrado perfecto (0,1,4,9,16,25...), el trinomio factoriza con numeros enteros. Si no es cuadrado perfecto, usa la formula general directamente.
Las ecuaciones cuadraticas modelan fenomenos con maximos o minimos: la altura de un proyectil en funcion del tiempo (la gravedad genera el termino cuadratico), el area de figuras variables, el costo total de produccion en economia. Cada vez que buscas el punto de maximo beneficio, la distancia de vuelo de una pelota, o cuando una inversion llega a cero, estas resolviendo una ecuacion cuadratica.
Las ecuaciones cuadraticas en la vida real: el movimiento de un proyectil bajo la gravedad sigue h(t)=-4.9t²+v0t+h0, donde h es la altura, t el tiempo, v0 la velocidad inicial y h0 la altura inicial. Para saber cuando el proyectil cae al suelo (h=0), resuelves la ecuacion cuadratica -4.9t²+v0t+h0=0 con la formula general. Si v0=20 m/s y h0=0: t = (20±raiz(400))/9.8 = (20±20)/9.8. t=0 (inicio) o t=40/9.8=4.08 segundos. El proyectil cae despues de 4 segundos.
La historia de la ecuacion cuadratica es fascinante. Los matematicos babilonios ya resolvian ecuaciones cuadraticas alrededor del 2000 a.C., aunque sin la notacion algebraica moderna. Al-Khwarizmi (del que viene la palabra algebra y algoritmo) sistematizo los metodos en el siglo IX. La formula general moderna la publicaron los matematicos italianos Cardano y Tartaglia en el siglo XVI. Hoy la formula x=(-b±raiz(b²-4ac))/2a es conocida por cualquier estudiante de preparatoria en el mundo.
Vieta formuló en el siglo XVII una relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación cuadrática. Si x1 y x2 son las raíces de ax²+bx+c=0, entonces x1+x2 = -b/a y x1×x2 = c/a. Para x²-5x+6=0: x1+x2 = 5 y x1×x2 = 6. Las raíces son 2 y 3 (2+3=5, 2×3=6). Estas relaciones permiten verificar soluciones sin calcular: si la suma y el producto dan los valores correctos, las raíces son correctas. También permiten encontrar ecuaciones cuadráticas con raíces específicas.