Aprende la funcion cuadratica f(x)=ax2+bx+c: la parabola, el vertice, la apertura, las raices y como graficarla. Con ejemplos y calculadora del vertice.
La funcion cuadratica tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Su grafica es una parabola. Si a > 0, la parabola abre hacia arriba (tiene minimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene maximo). El eje de simetria es la recta vertical que pasa por el vertice.
El vertice es el punto mas alto o mas bajo de la parabola. Su coordenada x es: x_v = -b / 2a. La coordenada y se calcula sustituyendo x_v en la funcion. Para f(x) = x²-4x+3: x_v = -(-4)/(2x1) = 2. y_v = f(2) = 4-8+3 = -1. Vertice: (2, -1).
Las raices son los puntos donde la parabola cruza el eje x (f(x)=0). Pueden ser: 2 raices (D>0, parabola cruza el eje x en dos puntos), 1 raiz doble (D=0, parabola toca el eje x en el vertice), 0 raices reales (D<0, parabola no toca el eje x). Hay una relacion directa entre el discriminante y la posicion de la parabola respecto al eje x.
La forma vertice es f(x) = a(x-h)² + k, donde (h,k) es el vertice. Para graficar rapidamente: marca el vertice, calcula un punto a cada lado, dibuja la parabola simetrica respecto al eje de simetria x=h. La forma vertice se obtiene completando el cuadrado. Para x²-4x+3: x²-4x+4-4+3 = (x-2)²-1. Vertice (2,-1), misma que antes.
Las funciones cuadraticas modelan el costo y beneficio en economia. Si el costo de producir x unidades es C(x)=0.1x²+5x+200 y el ingreso es I(x)=15x, la ganancia es G(x)=15x-0.1x²-5x-200=-0.1x²+10x-200. Maximizando: G'(x)=-0.2x+10=0, x=50. La ganancia maxima se logra produciendo 50 unidades. G(50)=-0.1(2500)+500-200=$50. Este tipo de optimizacion cuadratica es la base del analisis marginal en economia y se aplica en la toma de decisiones empresariales diarias.
La parabola tiene una propiedad optica unica: todos los rayos paralelos al eje de la parabola se reflejan hacia el foco. Esta propiedad es la razon por la que las antenas satelitales, los telescopios reflectores, los faroles de coches y los radiotelescopios tienen forma parabolica. La senal del satelite llega paralela al eje, se refleja y converge en el receptor ubicado en el foco. Galileo descubrio que los proyectiles siguen trayectorias parabolicas. Toda la ballistica, desde flechas hasta cohetes espaciales, se basa en la matematica de la parabola.
La parabola tiene aplicaciones directas en arquitectura. El arco parabolico distribuye las cargas estructurales de manera optima hacia los apoyos laterales. El puente colgante Golden Gate, el Arco de Santa Maria en la Ribera (Barcelona), y muchas estructuras de hormigon modernas usan la parabola como forma estructural. La razon matematica: la catenaria (la forma que toma una cadena colgante) es muy similar a una parabola, y ambas minimizan el potencial gravitacional — son las formas que la gravedad favorece naturalmente.