Aprende la funcion cuadratica f(x)=ax2+bx+c: la parabola, el vertice, la apertura, las raices y como graficarla. Con ejemplos y calculadora del vertice.
La funcion cuadratica tiene la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Su grafica es una parabola. Si a > 0, la parabola abre hacia arriba (tiene minimo). Si a < 0, abre hacia abajo (tiene maximo). El eje de simetria es la recta vertical que pasa por el vertice.
El vertice es el punto mas alto o mas bajo de la parabola. Su coordenada x es: x_v = -b / 2a. La coordenada y se calcula sustituyendo x_v en la funcion. Para f(x) = x²-4x+3: x_v = -(-4)/(2x1) = 2. y_v = f(2) = 4-8+3 = -1. Vertice: (2, -1).
Las raices son los puntos donde la parabola cruza el eje x (f(x)=0). Pueden ser: 2 raices (D>0, parabola cruza el eje x en dos puntos), 1 raiz doble (D=0, parabola toca el eje x en el vertice), 0 raices reales (D<0, parabola no toca el eje x). Hay una relacion directa entre el discriminante y la posicion de la parabola respecto al eje x.
La forma vertice es f(x) = a(x-h)² + k, donde (h,k) es el vertice. Para graficar rapidamente: marca el vertice, calcula un punto a cada lado, dibuja la parabola simetrica respecto al eje de simetria x=h. La forma vertice se obtiene completando el cuadrado. Para x²-4x+3: x²-4x+4-4+3 = (x-2)²-1. Vertice (2,-1), misma que antes.
La trayectoria de cualquier objeto lanzado (pelota, cohete, agua de una fuente) sigue una función cuadrática: y=v₀t−(g/2)t². El vértice es el punto más alto de la trayectoria.
Un productor tiene 120m de cerca para un corral rectangular. ¿Qué dimensiones maximizan el área? A=x(60−x)=−x²+60x. Vértice: x=30m → área máxima=900m².
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No. Depende del discriminante Δ=b²−4ac. Δ>0: dos raíces reales. Δ=0: una raíz doble. Δ<0: no hay raíces reales.
Solo cuando a>0 (parábola abre arriba). Cuando a<0 (abre abajo), el vértice es un máximo.
Para graficar fácilmente: el vértice está en (h,k), el factor a indica la apertura. Más útil que la forma estándar para interpretar la parábola.
Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2, con la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Su gráfica es siempre una parábola. Si a > 0, la parábola abre hacia arriba (como una U). Si a < 0, abre hacia abajo (como una ∩). Aparece en física (trayectoria de proyectiles), economía (maximizar ganancias) y en prácticamente cualquier problema de optimización.
Coordenada x del vértice: xᵥ = −b ÷ (2a)
Coordenada y: yᵥ = f(xᵥ)
Para f(x) = x² − 4x + 3: xᵥ = 4÷2 = 2, yᵥ = 4−8+3 = −1 → vértice (2, −1)
Se encuentran igualando f(x) = 0 y resolviendo con factorización o fórmula cuadrática.
x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a)
Δ = b² − 4ac
Δ > 0: dos raíces reales | Δ = 0: una raíz (vértice toca eje x) | Δ < 0: sin raíces reales
a=1, b=−5, c=6
Vértice: x = 5/2 = 2.5, y = 6.25−12.5+6 = −0.25 → (2.5, −0.25)
Raíces: (x−2)(x−3) = 0 → x=2 y x=3
Abre hacia arriba (a=1>0)
a=−1, b=4, c=−4
Discriminante: 16−16=0 → una raíz
x = −4÷(2×−1) = 2 → vértice (2, 0) toca el eje x
Raíz: x=2 (doble)
Abre hacia abajo (a=−1<0)
a=2, b=−4, c=−6
Δ = 16+48 = 64 → √64=8
x = (4±8)÷4 → x₁=(4+8)÷4=3, x₂=(4−8)÷4=−1
Raíces: x=3 y x=−1
Vértice: x=1, y=2−4−6=−8 → (1,−8)
Para graficar f(x) = x² − 2x − 3, evalúa en varios puntos:
Las raíces son x=−1 y x=3 (donde f=0). El vértice es (1, −4) — el punto más bajo. La parábola es simétrica respecto a x=1.
Altura máxima: vértice → t = −20÷(2×−5) = 2 segundos
h(2) = −5(4) + 40 + 1 = 21 metros de altura máxima
Cae al suelo cuando h=0 → usando fórmula cuadrática → t≈4.05 segundos
Sí. Si el discriminante es negativo (Δ < 0), la parábola no cruza el eje x y la ecuación cuadrática no tiene solución real. Por ejemplo, f(x) = x² + 1 siempre es mayor que cero, nunca toca el eje x.
Es f(x) = a(x−h)² + k, donde (h, k) es el vértice. Es útil para graficar directamente. f(x) = 2(x−3)² − 5 tiene vértice (3, −5) y abre hacia arriba.
ax² + bx + c
Útil para: encontrar intersección con eje y (punto c)
a(x−h)² + k
Útil para: graficar directamente desde el vértice (h,k)
a(x−r₁)(x−r₂)
Útil para: leer las raíces directamente (r₁ y r₂)
La función cuadrática es el primer encuentro formal con curvas en álgebra. Dominar sus tres formas, la interpretación del discriminante y la ubicación del vértice te prepara para funciones más complejas como las trigonométricas y exponenciales en preparatoria y universidad.
La función cuadrática es el puente entre el álgebra lineal de primer grado y las funciones más complejas de preparatoria. Dominar sus tres formas, el vértice, el discriminante y las raíces te dará una base sólida para trigonometría, cálculo diferencial y álgebra superior. Los conceptos aprendidos aquí aparecen directamente en el COMIPEMS y en los primeros semestres de cualquier carrera de ciencias, ingeniería, economía o administración.
Para convertir f(x)=x²−6x+5 a forma de vértice: agrupa los términos con x: (x²−6x)+5. Completa el cuadrado sumando y restando (6/2)²=9: (x²−6x+9)−9+5 = (x−3)²−4. Vértice: (3,−4). Raíces: x=3±√4 → x=5 y x=1.
(x²+4x+4)−4+1 = (x+2)²−3 → vértice: (−2, −3)
Cuando una recta y una parábola se intersectan, puedes encontrar los puntos de intersección igualando las dos funciones. Por ejemplo, encontrar dónde y=x+2 intersecta y=x²:
x² = x+2 → x²−x−2=0 → (x−2)(x+1)=0 → x=2 (punto 2,4) y x=−1 (punto −1,1)
✓ f(x)=ax²+bx+c donde a≠0
✓ a>0: parábola abre ↑ (mínimo en vértice)
✓ a<0: parábola abre ↓ (máximo en vértice)
✓ Vértice: x=−b/2a, y=f(xᵥ)
✓ Discriminante Δ=b²−4ac determina número de raíces
✓ Raíces: x=(−b±√Δ)/2a
La función cuadrática f(x)=ax²+bx+c es mucho más que una fórmula abstracta. Es el modelo matemático de la gravedad, la optimización económica, la óptica de las lentes y la ingeniería de estructuras. Cuando un futbolista dispara al arco, la trayectoria del balón sigue una parábola. Cuando una empresa busca el precio que maximiza sus ingresos, está buscando el vértice de una parábola. Cuando un arquitecto diseña un arco, utiliza propiedades de la parábola. Dominar este tema te abre las puertas al cálculo diferencial, donde aprenderás a encontrar máximos y mínimos de funciones más complejas usando derivadas — pero todo empieza aquí, con la parábola y sus tres formas.
Practica encontrar el vértice y las raíces de al menos 10 funciones cuadráticas diferentes para dominar el tema completamente antes de cualquier examen.
La función cuadrática es el modelo matemático de la parábola y representa el paso natural desde las funciones lineales hacia el análisis de funciones no lineales. Dominar sus tres formas, el vértice, el discriminante y las raíces es indispensable para el COMIPEMS y para cualquier carrera universitaria en ciencias, ingeniería, economía o matemáticas. El discriminante b²−4ac es especialmente importante: determina si la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes, una solución doble, o ninguna solución real. Esta clasificación aparece directamente en preguntas del COMIPEMS.
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Funcion CuadraticaLa Parabola, Vertice y Graficas es uno de los temas que pueden aparecer en el COMIPEMS. Para prepararte correctamente, practica con preguntas de los tres niveles de dificultad: basico, intermedio y avanzado. El generador de examenes de MathBasics te permite crear simulacros especificos de este tema.