Introduccion a las derivadas: la regla de la potencia, derivadas de funciones basicas y como interpretar la derivada como tasa de cambio. Con ejercicios.
La derivada de una funcion mide como cambia la funcion en cada punto — su tasa de cambio instantanea. Si f(x) representa la posicion de un auto, f'(x) (la derivada) representa su velocidad en cada instante. Si f(x) representa la altura de un proyectil, f'(x)=0 en el punto mas alto (la velocidad es cero en el punto maximo).
Para f(x) = x^n, la derivada es f'(x) = n × x^(n-1). Baja el exponente como factor y reduce el exponente en 1.
f(x) = x³-4x²+3x-7. Deriva cada termino: f'(x) = 3x²-8x+3. La derivada de la constante (-7) es cero. La constante multiplicativa (el -4 en -4x²) se conserva: deriv de -4x² es -4×2x = -8x.
Encontrar maximos y minimos: cuando f'(x)=0, la funcion tiene un punto critico (maximo o minimo local). Para f(x)=x²-4x+3: f'(x)=2x-4=0 → x=2. f(2)=4-8+3=-1. El minimo es (2,-1), identico al vertice de la parabola. La derivada es el puente entre el algebra (ecuaciones) y la geometria (formas de las curvas). Con calculo diferencial puedes encontrar el punto de maximo beneficio, la velocidad optima o el menor costo en cualquier funcion continua.
| f(x) | f'(x) | f(x) | f'(x) |
|---|---|---|---|
| c (constante) | 0 | eˣ | eˣ |
| x | 1 | ln(x) | 1/x |
| x² | 2x | sin(x) | cos(x) |
| x³ | 3x² | cos(x) | −sin(x) |
| xⁿ | n×xⁿ⁻¹ | √x = x^(1/2) | 1/(2√x) |
Si s(t)=t² es la posición en metros, v(t)=s'(t)=2t es la velocidad en m/s. En t=3: velocidad=6 m/s. Aceleración=v'(t)=2 m/s². Todo el movimiento físico se describe con derivadas.
Si f'(x)=0, es un punto crítico (posible máximo o mínimo). f(x)=−x²+6x: f'(x)=−2x+6=0 → x=3. f(3)=−9+18=9. El máximo es 9 en x=3.
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No. En puntos angulosos, esquinas o discontinuidades, la derivada no existe. Por ejemplo, f(x)=|x| no es derivable en x=0.
Sí, por el Teorema Fundamental del Cálculo. d/dx[∫f(x)dx]=f(x). La derivada deshace la integral y viceversa.
En preparatoria de 3° año o en el primer semestre de universidad (Cálculo 1). Son fundamentales en ingeniería, física, economía y ciencias naturales.
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