Introduccion a las derivadas: la regla de la potencia, derivadas de funciones basicas y como interpretar la derivada como tasa de cambio. Con ejercicios.
La derivada de una funcion mide como cambia la funcion en cada punto — su tasa de cambio instantanea. Si f(x) representa la posicion de un auto, f'(x) (la derivada) representa su velocidad en cada instante. Si f(x) representa la altura de un proyectil, f'(x)=0 en el punto mas alto (la velocidad es cero en el punto maximo).
Para f(x) = x^n, la derivada es f'(x) = n × x^(n-1). Baja el exponente como factor y reduce el exponente en 1.
f(x) = x³-4x²+3x-7. Deriva cada termino: f'(x) = 3x²-8x+3. La derivada de la constante (-7) es cero. La constante multiplicativa (el -4 en -4x²) se conserva: deriv de -4x² es -4×2x = -8x.
Encontrar maximos y minimos: cuando f'(x)=0, la funcion tiene un punto critico (maximo o minimo local). Para f(x)=x²-4x+3: f'(x)=2x-4=0 → x=2. f(2)=4-8+3=-1. El minimo es (2,-1), identico al vertice de la parabola. La derivada es el puente entre el algebra (ecuaciones) y la geometria (formas de las curvas). Con calculo diferencial puedes encontrar el punto de maximo beneficio, la velocidad optima o el menor costo en cualquier funcion continua.
La derivada tiene una interpretacion economica directa: la derivada del ingreso es el ingreso marginal (cuanto gana la empresa al vender una unidad adicional), la derivada del costo es el costo marginal. En equilibrio optimo, el ingreso marginal iguala al costo marginal — exactamente cuando la derivada de la ganancia es cero. Un economista que dice que una empresa debe producir donde Im=Cm esta diciendo matematicamente que debe producir donde la derivada de la ganancia es cero, es decir en el maximo. El calculo es la matematica de la economia neoclasica.
Las reglas de derivacion van mas alla de la regla de la potencia. La regla del producto: (fg)'=f'g+fg'. La regla del cociente: (f/g)'=(f'g-fg')/g². La regla de la cadena para funciones compuestas: (f(g(x)))'=f'(g(x))×g'(x). Con estas tres reglas y las derivadas basicas (potencias, exponencial, logaritmo, trigonometricas), puedes derivar cualquier funcion elemental. El calculo diferencial es la herramienta de optimizacion mas poderosa de la matematica — encuentra maximos y minimos de cualquier funcion continua.
Las derivadas de orden superior tienen significado fisico directo. La primera derivada de la posicion es la velocidad. La segunda derivada (la derivada de la velocidad) es la aceleracion. La tercera derivada de la posicion es el jerk (sacudida), que mide como cambia la aceleracion. En diseno de cabinas de elevadores y coches de lujo, minimizar el jerk es una especificacion de confort — los cambios bruscos de aceleracion son incomodos. Los ingenieros usan derivadas de tercer orden para diseno de trayectorias suaves en robots y vehiculos automaticos.