El valor absoluto de un numero es su distancia al cero: |x| siempre es positivo. Con propiedades, ecuaciones con valor absoluto y aplicaciones.
El valor absoluto de un numero es su distancia al cero en la recta numerica, siempre positiva. Se denota |x|. |5| = 5 (ya es positivo). |-5| = 5 (la distancia de -5 al 0 es 5). |0| = 0 (el cero esta a distancia 0 de si mismo).
|x| ≥ 0 siempre (nunca negativo). |-x| = |x| (simetria). |x×y| = |x|×|y|. |x+y| ≤ |x|+|y| (desigualdad triangular). |x| = raiz(x²).
Para |x| = 5: hay dos soluciones, x=5 o x=-5 (ambas tienen valor absoluto 5). Para |x-3| = 4: el numero dentro del || puede ser 4 o -4. x-3=4 → x=7. x-3=-4 → x=-1. Dos soluciones: x=7 y x=-1. Para |2x+1| = 7: 2x+1=7 → x=3, o 2x+1=-7 → x=-4. Siempre considera ambos casos en ecuaciones con valor absoluto.
La distancia entre los puntos a y b en la recta numerica es |a-b| = |b-a|. Distancia entre 3 y 8: |3-8|=|-5|=5. Distancia entre -4 y 6: |-4-6|=|-10|=10. El valor absoluto convierte la diferencia (que podria ser negativa) en distancia (siempre positiva). Esta es exactamente la formula de distancia entre dos puntos en el plano: d=raiz((x2-x1)²+(y2-y1)²) = raiz de la suma de los cuadrados de las diferencias, donde el cuadrado garantiza la positividad igual que el valor absoluto.
El valor absoluto aparece en estadistica como la base del error absoluto medio: MAE = Σ|prediccion-realidad|/n. A diferencia del error cuadratico, el MAE no penaliza desproporcionadamente los errores grandes. En control de calidad, la tolerancia de una medida (±0.5mm) se expresa como valor absoluto: |medida - objetivo| ≤ 0.5. En programacion, la funcion abs() calcula el valor absoluto y es una de las mas usadas en cualquier lenguaje.
La funcion de valor absoluto tiene una forma geometrica especifica: es una V con vertice en el origen. La grafica de y=|x| son dos rayos que forman 45 grados con los ejes. La grafica de y=|x-3| es la misma V pero desplazada 3 unidades a la derecha, con vertice en (3,0). La grafica de y=|x|+2 esta desplazada 2 unidades hacia arriba, con vertice en (0,2). Estas transformaciones del valor absoluto son las mismas que las de cualquier funcion — el modulo no es la excepcion sino un ejemplo perfecto de como las funciones se transforman en el plano cartesiano.