Aprende la diferencia entre numeros naturales (1,2,3...) y enteros (...-2,-1,0,1,2...). Con conjuntos numericos, recta numerica y operaciones.
Los conjuntos numericos se anidan unos dentro de otros: Naturales ⊂ Enteros ⊂ Racionales ⊂ Reales ⊂ Complejos. Cada conjunto incluye al anterior y agrega nuevos numeros para completar operaciones que antes no tenian solucion.
Los numeros naturales son: 1, 2, 3, 4, 5... (algunos autores incluyen el 0). Son los numeros de contar. Surgen naturalmente — cualquier cultura humana los desarrolla independientemente. La suma y multiplicacion de naturales siempre da natural. La resta puede no dar natural: 3-5=-2 no es natural. La division puede no dar natural: 5/2=2.5 no es natural.
Los enteros son: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Se crean para que la resta siempre tenga solucion. 3-5=-2 ahora tiene respuesta en los enteros. Los enteros se pueden sumar, restar y multiplicar siempre con resultado entero. La division aun puede no ser entera: 5/3 no es entero. Los enteros aparecen en temperaturas bajo cero, pisos de edificio, saldos negativos, altitudes bajo el nivel del mar.
La recta numerica visualiza los enteros: el cero en el centro, positivos a la derecha, negativos a la izquierda. La distancia de cualquier numero al cero se llama valor absoluto: |5|=5 y |-5|=5. Dos numeros opuestos (como 3 y -3) estan a la misma distancia del cero pero en lados opuestos. Esta simetria es la base de los numeros complejos y de la geometria del plano cartesiano.
Los enteros son suficientes para la matematica basica de la vida cotidiana. Pero para las matematicas avanzadas necesitamos mas: las fracciones (racionales) para dividir cualquier numero, los irracionales para raices y constantes como pi, y los complejos para raices de negativos. Cada extension del sistema numerico surge de una operacion que no tenia solucion en el conjunto anterior — es la historia de como los matematicos ampliaron el concepto de numero durante 3,000 años.
El matematico aleman Leopold Kronecker dijo famosamente: Dios creo los enteros, todo lo demas es trabajo del hombre. Esta frase captura la idea de que los numeros naturales son la unica nocion matematica verdaderamente intuitiva y universal. Todas las extensiones — fracciones, irracionales, complejos — son construcciones matematicas para completar operaciones que no tenian solucion. La matematica avanza expandiendo el concepto de numero cada vez que una operacion no tiene solucion en el conjunto actual: la raiz cuadrada de -1 creo los numeros complejos en el siglo XVI.