Un número racional es cualquier número que puede expresarse como fracción p/q con q≠0. Incluye enteros, fracciones, decimales finitos y decimales periódicos.
Un número racional es todo número que puede expresarse como el cociente de dos enteros p/q, donde q ≠ 0. El conjunto de los racionales se denota ℚ (de "quotient", cociente en inglés). Incluye: todos los enteros (4 = 4/1), todas las fracciones (3/4, -5/2), todos los decimales finitos (0.75 = 3/4) y todos los decimales periódicos (0.333... = 1/3).
Los números racionales forman la mayor parte de los números que usamos en la vida diaria. Precios ($15.50), medidas (2.5 metros), calificaciones (8.5), porcentajes (75% = 3/4) — todos son racionales. La propiedad clave es que siempre pueden expresarse como fracciones exactas.
Los números irracionales son los que NO pueden expresarse como fracción. Sus decimales son infinitos y nunca se repiten. Ejemplos clásicos: √2 = 1.41421356..., π = 3.14159265..., e = 2.71828... Estos números son "irracionales" porque no pueden expresarse como razón (ratio) de dos enteros.
El conjunto de los racionales es cerrado bajo las cuatro operaciones básicas (excepto dividir entre 0): la suma, resta, multiplicación y división de dos racionales siempre da un racional. 1/2 + 1/3 = 5/6 (racional). 1/2 × 1/3 = 1/6 (racional). Sin embargo, la raíz cuadrada de un racional puede ser irracional: √2 es irracional aunque 2 sea racional.
Entre cualquier dos números racionales siempre existe otro racional. Entre 1/3 y 1/2 está 5/12. Entre 1/4 y 1/3 está 7/24. Esta propiedad se llama "densidad" y significa que los racionales no tienen huecos entre ellos — para cualquier par que elijas, siempre puedes encontrar uno más entre medios. El promedio de dos racionales siempre es racional: (a/b + c/d)/2 = (ad+bc)/(2bd).
Aunque los racionales son densos, los números reales tienen infinitamente más números que los racionales. Los irracionales "llenan" los huecos que los racionales no pueden cubrir. La raíz cuadrada de cualquier número que no sea cuadrado perfecto es irracional. Esto significa que la mayoría de los números en la recta numérica son irracionales, aunque casi todos los que usamos en la vida diaria son racionales.