Los numeros irracionales no pueden expresarse como fraccion. Aprende sus propiedades, ejemplos (pi, raiz 2, el numero e) y como identificarlos.
Un numero irracional es aquel que no puede expresarse como fraccion p/q de dos enteros. Sus decimales son infinitos y no tienen ningun patron de repeticion. Los dos irracionales mas famosos son: pi = 3.14159265358979... (razon entre circunferencia y diametro) y raiz(2) = 1.41421356... (diagonal del cuadrado unitario).
Un numero es irracional si: 1) Es la raiz cuadrada de un numero que no es cuadrado perfecto. Raiz(2), raiz(3), raiz(5), raiz(7), raiz(10) son irracionales. Raiz(4)=2, raiz(9)=3, raiz(25)=5 son racionales. 2) Es una constante matematica fundamental como pi o e (numero de Euler). 3) Sus decimales nunca terminan ni se repiten.
Pi (pi = 3.14159...): razon entre circunferencia y diametro. Raiz de 2 (1.41421...): diagonal del cuadrado de lado 1. Numero de Euler (e = 2.71828...): base del logaritmo natural, fundamental en calculo. Proporcion aurea (phi = 1.61803...): aparece en naturaleza y arte. Raiz de 3 (1.73205...): altura del triangulo equilatero de lado 2.
Irracional + irracional puede ser racional o irracional. (pi) + (-pi) = 0 (racional). Raiz(2) + raiz(3) = irracional. Irracional x irracional puede ser racional: raiz(2) x raiz(2) = 2 (racional). raiz(2) x raiz(3) = raiz(6) (irracional). La suma de un racional y un irracional es siempre irracional: 1 + pi es irracional.
Los irracionales fueron un descubrimiento perturbador para los matematicos griegos. Los pitagoricos creian que todo podia expresarse como razon de enteros. Cuando Hipasos de Metaponto demostro que raiz(2) es irracional, segun la leyenda fue arrojado al mar para guardar el secreto. Hoy sabemos que los irracionales no son la excepcion sino la norma: hay infinitamente mas irracionales que racionales en la recta real, aunque ambos conjuntos sean infinitos.
La demostracion de que raiz(2) es irracional es uno de los argumentos matematicos mas elegantes. Supongamos que raiz(2) = p/q con p y q sin factores comunes. Entonces 2 = p²/q², es decir p² = 2q². Esto significa que p² es par, entonces p es par: p = 2k. Sustituyendo: (2k)² = 2q², 4k² = 2q², q² = 2k², entonces q² es par y q es par. Pero entonces p y q son ambos pares, contradiciendo que no tienen factores comunes. Esta contradiccion prueba que raiz(2) no puede ser racional.
El numero e (2.71828...) es irracional y aparece naturalmente en el crecimiento continuo. Si inviertes $1 a una tasa del 100% anual con capitalizacion continua, despues de un ano tienes exactamente $e = $2.718... Este es el origen del numero e: es el limite de (1+1/n)^n cuando n tiende a infinito. Con capitalizacion mensual (n=12): (1+1/12)^12 ≈ 2.613. Con diaria (n=365): ≈ 2.7146. Con continua: exactamente e. La diferencia entre capitalizacion mensual y continua en $100,000 al 10% anual en 30 anos es de miles de dolares.