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Progresión Aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una constante (diferencia común 'd') al anterior. Ejemplo: 2,5,8,11,14... tiene d=3. Aparece en el COMIPEMS con preguntas sobre el término n-ésimo o la suma de n términos.

an = a1 + (n−1)d | Sn = n(a1+an)/2 | d = diferencia común

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Progresión 3,7,11,15... → d=4. Término 10: a10=3+(10−1)×4=3+36=39
Ejemplo 2: Suma de los primeros 5 términos de 2,4,6,8,10: S5=5(2+10)/2=30
Ejemplo 3: ¿Es aritmética 5,10,20,40? No — la diferencia no es constante (5,10,20). Es geométrica
Ejemplo 4: Halla la diferencia: a1=8, a7=44 → 44=8+6d → d=6
Ejemplo 5 (nivel COMIPEMS): Insertar 3 medios aritméticos entre 5 y 25: d=(25−5)/(3+1)=5. Serie: 5,10,15,20,25

Ejercicios para practicar

Ejercicio 1: Halla el término 15 de: 4, 7, 10, 13...
Solución: d=3. a15=4+(14)×3=4+42=46
Ejercicio 2: ¿Cuántos términos tiene 3,6,9,...,150?
Solución: n=(150−3)/3+1=50 términos
Ejercicio 3: Suma los 10 primeros términos de 1,3,5,7...
Solución: a10=1+9×2=19. S10=10(1+19)/2=100
Ejercicio 4: a5=23 y a9=43. Halla a1 y d.
Solución: d=(43−23)/(9−5)=5. a1=23−4×5=3
¿Cómo sé si una sucesión es aritmética?
Resta cualquier término menos el anterior. Si siempre da el mismo resultado, es aritmética. Si no es constante, no lo es.
¿Cuál es la diferencia entre progresión aritmética y geométrica?
En la aritmética se suma siempre la misma constante (d). En la geométrica se multiplica siempre por la misma constante (razón r). Ejemplo aritmética: 2,5,8,11. Ejemplo geométrica: 2,6,18,54.
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¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una sucesión de números donde la diferencia entre términos consecutivos siempre es la misma. Esa diferencia constante se llama razón o diferencia común (d).

Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14... (d = 3, porque 5-2=3, 8-5=3, etc.)

Fórmulas de la progresión aritmética

Término general (término n):

aₙ = a₁ + (n-1) × d

Donde: a₁ = primer término | n = posición del término | d = diferencia común

Suma de los primeros n términos:

Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2

O equivalente: Sₙ = n/2 × [2a₁ + (n-1)d]

Cómo encontrar la diferencia común

d = aₙ - aₙ₋₁ (cualquier término menos el anterior)

Ejemplo: En 3, 7, 11, 15... → d = 7-3 = 4

15 ejercicios resueltos de progresión aritmética

1. Encuentra el décimo término de: 5, 8, 11, 14...
d=3, a₁=5 → a₁₀ = 5 + (10-1)×3 = 5 + 27 = 32

2. ¿Cuál es la diferencia común de: 20, 15, 10, 5...?
d = 15-20 = -5 (progresión decreciente)

3. Suma los primeros 8 términos de: 2, 5, 8, 11...
a₈ = 2 + 7×3 = 23 → S₈ = 8×(2+23)/2 = 8×25/2 = 100

4. Escribe los primeros 6 términos si a₁=4 y d=7:
4, 11, 18, 25, 32, 39

5. Si a₃=10 y a₇=22, encuentra d y a₁:
d = (22-10)/(7-3) = 12/4 = 3 → a₁ = 10 - 2×3 = 4

6. ¿En qué posición está el término 41 en: 5, 8, 11...?
41 = 5 + (n-1)×3 → 36 = (n-1)×3 → n-1=12 → n = 13

7. Suma los primeros 100 números naturales (1+2+3+...+100):
a₁=1, d=1, a₁₀₀=100 → S₁₀₀ = 100×(1+100)/2 = 5,050 (Fórmula de Gauss)

8. Una empresa gana $500 el primer mes y aumenta $200 por mes. ¿Cuánto gana en el mes 12?
a₁₂ = 500 + 11×200 = 500+2200 = $2,700

9. ¿Cuántos términos tiene: 3, 7, 11, ..., 87?
87 = 3 + (n-1)×4 → 84 = (n-1)×4 → n = 22 términos

10. ¿Cuál es la suma de: 3+7+11+...+87?
S = 22×(3+87)/2 = 22×45 = 990

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