Δ > 0
2 soluciones reales
Una ecuación cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0 donde a ≠ 0. A diferencia de las ecuaciones lineales, pueden tener 0, 1 o 2 soluciones reales dependiendo del discriminante.
Método 1 — Fórmula General
x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a)
Funciona siempre. Calcula el discriminante Δ=b²−4ac primero para saber cuántas soluciones hay.
x²−5x+6=0: a=1, b=−5, c=6
Δ=25−24=1. x=(5±1)/2 → x₁=3, x₂=2. Verifica: (3−3)(3−2)=0 ✓
2x²+3x−2=0: a=2, b=3, c=−2
Δ=9+16=25. x=(−3±5)/4 → x₁=1/2, x₂=−2
El Discriminante — Cuántas Soluciones
Δ = 0
1 solución (doble)
Δ < 0
Sin solución real
Método 2 — Factorización
x²+7x+12=0
Busca dos números que sumen 7 y multipliquen 12 → 3 y 4. (x+3)(x+4)=0 → x=−3 o x=−4
x²−x−6=0
Busca dos números que sumen −1 y multipliquen −6 → −3 y +2. (x−3)(x+2)=0 → x=3 o x=−2
15 Ejercicios Resueltos
x²−4=0
x=±2
x²+5x+6=0
x=−2, x=−3
x²−9x+20=0
x=4, x=5
2x²−8=0
x=±2
x²+4x+4=0
x=−2 (doble)
x²−2x−3=0
x=3, x=−1
3x²−12x=0
x=0, x=4
x²+1=0
Sin sol. real
2x²+5x+3=0
x=−1, x=−3/2
x²−6x+9=0
x=3 (doble)
x²+x−12=0
x=3, x=−4
4x²−1=0
x=±1/2
x²−3x=0
x=0, x=3
x²+6x+8=0
x=−2, x=−4
x²−10x+25=0
x=5 (doble)
Aplicaciones Reales
Problema — Area de terreno
Un terreno rectangular tiene area 60m² y su largo es 7m mas que su ancho. Encuentra las dimensiones.
x(x+7)=60 → x²+7x−60=0 → x=5 (ancho 5m, largo 12m)
Problema — Proyectil
Altura h(t)=−5t²+20t. Cuando llega al suelo? h=0: t(−5t+20)=0 → t=0 o t=4 segundos
Preguntas Frecuentes
¿Siempre hay que usar la formula general?
No. Si la ecuacion factoriza facilmente, es mas rapido factorizar. Si el discriminante es un cuadrado perfecto, la factorizacion da numeros enteros. La formula general funciona siempre pero puede ser mas lenta.
¿Por que se llama cuadratica?
Por el termino x² (cuadrado). En latin quadratus significa cuadrado. La ecuacion de primer grado tiene x, la cuadratica tiene x², la cubica tiene x³, y asi sucesivamente.
Completar el Cuadrado
Completar el cuadrado es un método para convertir cualquier ecuación cuadrática a la forma (x−h)²=k, lo que facilita encontrar las raíces. Es también la base para derivar la fórmula general.
Resolver x²−6x+5=0 completando el cuadrado
Paso 1: x²−6x = −5. Paso 2: suma (6/2)²=9 en ambos lados: x²−6x+9 = −5+9 = 4. Paso 3: (x−3)²=4. Paso 4: x−3=±2. Soluciones: x=5 y x=1
Resolver 2x²+8x−10=0
Divide entre 2: x²+4x−5=0. Completa: x²+4x+4=5+4=9. (x+2)²=9. x+2=±3. Soluciones: x=1 y x=−5
El Discriminante — Análisis Completo
Δ = b²−4ac determina la naturaleza de las soluciones antes de calcularlas. Es la herramienta más eficiente para clasificar ecuaciones cuadráticas en el COMIPEMS.
Δ = 25 (x²−5x+6=0)
Dos raíces reales y distintas
Δ = 0 (x²−6x+9=0)
Raíz doble: x=3
Δ = −3 (x²+x+1=0)
Sin raíces reales
Relaciones de Vieta
Si x₁ y x₂ son las raíces de ax²+bx+c=0, entonces: x₁+x₂ = −b/a y x₁×x₂ = c/a. Útil para verificar soluciones sin sustituir.
Para x²−5x+6=0: raíces 2 y 3
Suma: 2+3=5=−(−5)/1 ✓ Producto: 2×3=6=6/1 ✓
Para 2x²−7x+3=0: raíces 3 y 1/2
Suma: 3+0.5=3.5=7/2 ✓ Producto: 3×0.5=1.5=3/2 ✓
Ecuaciones Cuadráticas en el COMIPEMS
En el COMIPEMS, las ecuaciones cuadráticas aparecen principalmente en: encontrar las raíces de una ecuación dada, determinar el número de soluciones usando el discriminante, y problemas de área y movimiento que resultan en ecuaciones cuadráticas.
Tipo A — Calcular raíces directamente
x²−7x+12=0 → factoriza: (x−3)(x−4)=0 → x=3 o x=4
Tipo B — Identificar el número de soluciones
¿Cuántas soluciones reales tiene x²+3x+5=0? Δ=9−20=−11 < 0 → NINGUNA solución real
Tipo C — Problema de geometría
Un rectángulo tiene perímetro 26cm y área 42cm². ¿Sus dimensiones?
l+w=13 y lw=42 → l y w son raíces de x²−13x+42=0 → (x−6)(x−7)=0 → 6cm y 7cm
Errores Frecuentes
Error 1 — Dividir la fórmula incorrectamente
x=(−b±√Δ)/2a — el 2a divide TODO el numerador, no solo la raíz. Error común: x=−b±√Δ/2a
Error 2 — Olvidar el signo negativo de b
En x²−5x+6=0, b=−5 (no +5). x=(−(−5)±√1)/2=6/2=3 o 4/2=2. Si usas b=5 obtienes resultados incorrectos.
¿Cuándo es mejor factorizar que usar la fórmula?
Factorizar es más rápido cuando el discriminante es un cuadrado perfecto (0, 1, 4, 9, 16, 25...) y los coeficientes son enteros. Si el discriminante no es cuadrado perfecto, la fórmula es necesaria.
¿Qué es una raíz doble y qué significa geométricamente?
Una raíz doble significa que la parábola toca el eje X en exactamente un punto (el vértice). Ocurre cuando Δ=0. Algebraicamente, la ecuación (x−h)²=0 tiene solo una solución x=h.
Las ecuaciones cuadráticas son el tema más importante del álgebra de 3° de secundaria y uno de los más frecuentes en el COMIPEMS. Dominar los tres métodos (fórmula general, factorización y completar el cuadrado), el discriminante y las relaciones de Vieta te preparará completamente para cualquier variante del tema.
Historia y Contexto de las Ecuaciones Cuadráticas
Las ecuaciones cuadráticas fueron resueltas por los babilonios hace más de 3,800 años, aunque sin el concepto moderno de variable. Los matemáticos árabes medievales, especialmente Al-Khwarizmi en el siglo IX, sistematizaron los métodos de resolución en su libro Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala, que dio origen a la palabra "álgebra". La fórmula general que usamos hoy fue establecida por los matemáticos europeos del siglo XVI. En el programa SEP de México, las ecuaciones cuadráticas se introducen en 3° de secundaria y son un tema central del COMIPEMS. Aparecen en problemas de geometría (área de figuras), cinemática (movimiento de proyectiles con h = −gt²/2 + v₀t + h₀), y optimización (maximizar o minimizar una cantidad cuadrática). Dominar los tres métodos de resolución — fórmula general, factorización y completar el cuadrado — te preparará no solo para el COMIPEMS sino para todo el álgebra de preparatoria.
10 Ejercicios Extra de Ecuaciones Cuadráticas
x²+2x−8=0
x=2 y x=−4
x²−7x=0
x=0 y x=7
3x²−27=0
x=±3
x²+4x+4=0
x=−2 (doble)
x²−x=6
x=3 y x=−2
¿Δ de x²+5x+7=0?
−3 (sin sol. real)
Raíces: 2 y 5. ¿La ecuación?
x²−7x+10=0
Raíces: −1 y −3. ¿La ecuación?
x²+4x+3=0
2x²+x−1=0
x=1/2 y x=−1
Área=48, largo=largo+2. Dimensiones?
6cm × 8cm
Guía de Estudio — Cómo Dominar las Ecuaciones Cuadráticas
Para dominar las ecuaciones cuadráticas en el COMIPEMS, sigue este orden de estudio. Primero, memoriza la forma estándar ax² + bx + c = 0 y practica identificar los coeficientes a, b y c en diferentes ecuaciones. Segundo, practica calcular el discriminante Δ = b² − 4ac para determinar cuántas soluciones tiene la ecuación antes de resolverla. Tercero, practica la factorización con ecuaciones donde el coeficiente a es 1 (las más frecuentes): busca dos números que sumen b y cuyo producto sea c. Cuarto, aplica la fórmula general para ecuaciones que no factorizan fácilmente. Quinto, verifica siempre tus soluciones sustituyendo en la ecuación original. Un error de cálculo se detecta inmediatamente con esta verificación. La mayor trampa del COMIPEMS con ecuaciones cuadráticas es presentar una ecuación que no está en forma estándar, como x² = 5x − 6, que primero hay que reorganizar como x² − 5x + 6 = 0 antes de resolver. Siempre lleva todos los términos al lado izquierdo y ordena de mayor a menor grado antes de identificar a, b y c.
Conexión con Otros Temas
Las ecuaciones cuadráticas están conectadas con casi todos los demás temas de álgebra. La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c es la representación gráfica de la ecuación. Sus raíces son los puntos donde la parábola cruza el eje x. El vértice de la parábola se encuentra en x = −b/2a, que es el promedio de las dos raíces. La descomposición en factores de un polinomio cuadrático se basa en encontrar sus raíces. La fórmula de distancia entre dos puntos en geometría analítica involucra una ecuación cuadrática al simplificar. En física, la cinemática del movimiento uniformemente acelerado produce ecuaciones cuadráticas para la posición en función del tiempo. En optimización, el vértice de la parábola da el máximo o mínimo de una función cuadrática.
Ecuaciones Cuadráticas — Checklist de Dominio
✓ Identifico a, b y c en ax²+bx+c=0
✓ Calculo el discriminante Δ=b²−4ac antes de resolver
✓ Si Δ>0: dos raíces reales. Si Δ=0: raíz doble. Si Δ<0: sin raíces reales
✓ Uso factorización cuando los números son enteros y el resultado es limpio
✓ Aplico la fórmula general en todos los demás casos
✓ Verifico sustituyendo en la ecuación original
✓ Conozco las relaciones de Vieta: suma=−b/a, producto=c/a
5 Problemas Finales de Repaso
x²+x−2=0
x=1 y x=−2
4x²−4x+1=0
x=1/2 (raíz doble)
x²+2x+5=0 → ¿cuántas sol.?
Ninguna (Δ=−16)
Raíces 4 y −3. ¿Ecuación?
x²−x−12=0
El producto de dos enteros consecutivos=56. ¿Los enteros?
7 y 8
Las ecuaciones cuadráticas son el puente entre el álgebra lineal que dominaste en 1° y 2° de secundaria y la matemática avanzada de preparatoria. Cada concepto nuevo que estudiarás — funciones, cálculo diferencial, geometría analítica — depende de tu habilidad para trabajar con ecuaciones de grado 2. Con los 25 ejercicios resueltos y los métodos de esta página, estás completamente preparado para el COMIPEMS y para los primeros semestres de bachillerato.
Las Ecuaciones Cuadráticas y la Parábola
Cada ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 corresponde a una parábola f(x) = ax² + bx + c. Las soluciones de la ecuación son exactamente los puntos donde la parábola cruza el eje x (las raíces). Si el discriminante es positivo, la parábola corta el eje en dos puntos. Si es cero, lo toca en uno solo. Si es negativo, la parábola no toca el eje x en ningún punto real. El vértice de la parábola está en x = −b ÷ (2a). Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si a es negativo, abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Esta conexión entre álgebra y geometría es uno de los conceptos más elegantes de las matemáticas y lo estudiarás ampliamente en preparatoria.
Más Ejercicios — Problemas de Área con Ecuaciones Cuadráticas
Problema — Terreno rectangular
Un terreno tiene 60m² de área. El largo es 4m más que el ancho. Encuentra las dimensiones.
Sea x el ancho: x(x+4)=60 → x²+4x−60=0 → (x+10)(x−6)=0 → x=6m (positivo). Largo=10m.
Problema — Números enteros consecutivos
El producto de dos enteros consecutivos es 72. ¿Cuáles son?
x(x+1)=72 → x²+x−72=0 → (x+9)(x−8)=0 → x=8. Los números son 8 y 9.
Vértice de x²−4x+3=0
x=2, y=−1
¿Para qué a tiene raíz doble x²+6x+a=0?
a=9
Suma de raíces de 2x²−8x+6=0
4 (= 8÷2)
Producto de raíces de 3x²−6x+9=0
3 (= 9÷3)
Con todos los métodos, ejercicios y conexiones de esta página dominas completamente las ecuaciones cuadráticas para el COMIPEMS y para el álgebra de preparatoria. La clave: practica hasta que identificar a, b, c y calcular el discriminante sea automático.
Resumen final: una ecuación cuadrática ax²+bx+c=0 tiene discriminante Δ=b²−4ac. Si Δ>0 hay dos raíces reales distintas calculadas con la fórmula general x=(−b±√Δ)/(2a). Si Δ=0 hay una raíz doble x=−b/(2a). Si Δ<0 no hay raíces reales. La factorización como (x−r₁)(x−r₂)=0 da las raíces directamente cuando los coeficientes son enteros convenientes. Las relaciones de Vieta permiten verificar: r₁+r₂=−b/a y r₁×r₂=c/a. Con los 30 ejercicios de esta página, desde los más básicos hasta los problemas de geometría y física, tienes una preparación completa para el COMIPEMS y para preparatoria.
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en el COMIPEMS en al menos 3 de cada 120 preguntas. Dominarlas completamente — los tres métodos, el discriminante, las relaciones de Vieta y los problemas de contexto — puede darte una ventaja significativa en tu puntaje final y determinar la escuela a la que serás asignado. Practica a diario con los ejercicios de esta página hasta que resolver una cuadrática sea tan automático como resolver una de primer grado.
Tip: memoriza la fórmula general x=(−b±√(b²−4ac))/(2a) y siempre identifica a, b, c antes de sustituir. Verifica con las relaciones de Vieta: suma de raíces=−b/a, producto=c/a.
Las ecuaciones cuadráticas son el tema con más conexiones en álgebra: parábolas, factorización, discriminante, relaciones de Vieta y aplicaciones a geometría y física. Dominarlas completamente es una de las mejores inversiones de tiempo antes del COMIPEMS.