<
menor que
Una inecuación (o desigualdad) es como una ecuación pero en lugar de igualdad (=) usa un signo de comparación: <, >, ≤, ≥. La solucion no es un punto sino un conjunto de valores (un intervalo).
Los 4 Signos de Desigualdad
>
mayor que
≤
menor o igual
≥
mayor o igual
Regla Clave — El Signo se Invierte al Multiplicar/Dividir por Negativo
Esta es la regla que mas olvidan
Si tienes 2x < 6, divides entre +2 y el signo NO cambia: x < 3.
Si tienes −2x < 6, divides entre −2 y el signo SI cambia: x > −3.
Como Resolver Inecuaciones Lineales
3x + 5 > 14
3x > 9 → x > 3. Solucion: todos los numeros mayores que 3. En la recta: circulo abierto en 3, flecha a la derecha.
−2x + 4 ≤ 10
−2x ≤ 6 → divido entre −2 y cambio signo: x ≥ −3. Solucion: x ≥ −3.
2 ≤ x + 1 ≤ 8 (inecuacion doble)
Resto 1 en todos: 1 ≤ x ≤ 7. Solucion: todos los x entre 1 y 7, inclusive.
15 Ejercicios Resueltos
x + 3 > 7
x > 4
2x < 10
x < 5
x − 5 ≥ 2
x ≥ 7
3x + 1 ≤ 10
x ≤ 3
−x > 4
x < −4
−3x ≤ 9
x ≥ −3
2x − 7 > 3
x > 5
5x + 2 ≤ 17
x ≤ 3
1 − 2x > 5
x < −2
x/2 ≥ 3
x ≥ 6
4 < 2x < 12
2 < x < 6
−1 ≤ x+2 ≤ 5
−3 ≤ x ≤ 3
3x < 2x + 5
x < 5
2(x+1) > 8
x > 3
x² > 0 (para x≠0)
Siempre verdadero
Aplicaciones Reales
Temperatura de refrigerador
Para conservar alimentos seguros, la temperatura debe ser 0°C ≤ T ≤ 4°C. Esta es una inecuacion doble.
Presupuesto maximo
Gastas $x por semana. Quieres gastar menos de $500 al mes (4 semanas): 4x < 500 → x < $125 por semana.
¿Por que cambia el signo al multiplicar por negativo?
Porque multiplicar o dividir por un numero negativo invierte el orden en la recta numerica. Si 3 < 5, entonces −3 > −5. Esta propiedad es fundamental y diferente a las ecuaciones.
Representación en la Recta Numérica
Las inecuaciones se representan con intervalos en la recta numérica. Círculo abierto (○) para < o >. Círculo cerrado (●) para ≤ o ≥.
x > 3: círculo abierto en 3, flecha a la derecha
El 3 no está incluido. Solución: (3, +∞)
x ≤ −1: círculo cerrado en −1, flecha a la izquierda
El −1 SÍ está incluido. Solución: (−∞, −1]
Inecuaciones con Valor Absoluto
|x| < a significa −a < x < a (entre). |x| > a significa x < −a o x > a (afuera).
|x − 3| < 5
−5 < x−3 < 5 → −2 < x < 8. Todos los x entre −2 y 8.
|2x + 1| ≥ 3
2x+1 ≥ 3 → x ≥ 1, o 2x+1 ≤ −3 → x ≤ −2. Dos intervalos: x ≤ −2 o x ≥ 1.
Sistemas de Inecuaciones
Un sistema de inecuaciones busca los valores que satisfacen TODAS las inecuaciones simultáneamente (intersección de conjuntos).
x > 1 Y x < 5
Ambas deben cumplirse: 1 < x < 5. La solución es el intervalo abierto (1, 5).
x < 2 O x > 4
Basta con que una se cumpla: x ∈ (−∞, 2) ∪ (4, +∞).
Aplicaciones en Economía y Ciencias
Restricción de presupuesto
Un estudiante tiene máximo $500 para libros. Cada libro cuesta $85. ¿Cuántos libros puede comprar?
85n ≤ 500 → n ≤ 5.88 → n ≤ 5 libros (número entero)
Control de calidad
Una pieza debe medir entre 10.0 y 10.5 cm. Si mide x: 10.0 ≤ x ≤ 10.5. Esta es una inecuación doble.
Velocidad en carretera
En México, la velocidad mínima en autopista es 60 km/h y la máxima es 110 km/h: 60 ≤ v ≤ 110.
Propiedades de las Desigualdades
Si a < b entonces a+c < b+c
Suma conserva
Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
Mult. positivo conserva
Si a < b y c < 0 entonces ac > bc
Mult. negativo invierte
¿Qué diferencia hay entre inecuación e inequación?
Son el mismo concepto. "Inecuación" es el término estándar en España y Latinoamérica. "Inequación" también se usa en algunos países hispanohablantes. En México el programa SEP usa "desigualdad" o "inecuación".
Las desigualdades e inecuaciones son fundamentales en matemáticas y en la vida real — desde restricciones de presupuesto hasta rangos de temperatura seguros, desde velocidades permitidas hasta calificaciones mínimas para aprobar. Con los 15 ejercicios y las propiedades de esta página dominas el tema para el COMIPEMS.
Inecuaciones en el COMIPEMS
Las inecuaciones aparecen en el COMIPEMS principalmente en tres contextos: resolver una inecuación algebraica y expresar la solución como intervalo o en la recta numérica, identificar el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto, y plantear y resolver inecuaciones de problemas de contexto (presupuesto máximo, tiempo mínimo, temperatura permitida). La regla más importante que debes recordar es que al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Esta es la diferencia principal entre las inecuaciones y las ecuaciones, y es el error más frecuente en el COMIPEMS.
10 Ejercicios Extra de Inecuaciones
4x−8 > 0
x > 2
3−x ≤ 7
x ≥ −4
2(x+3) > x+8
x > 2
−4x + 1 ≤ 9
x ≥ −2
3 ≤ 2x−1 ≤ 9
2 ≤ x ≤ 5
|x| ≤ 4
−4 ≤ x ≤ 4
|x − 2| > 3
x<−1 o x>5
x/4 + 1 > 3
x > 8
Gasta <$300 con $85 fijos + $x por ítem. ¿Cuántos ítems?
Depende del precio del ítem
Temperatura: −10 ≤ T ≤ 40. ¿Es T=−15 válida?
No, fuera del rango
Inecuaciones — Guía de Estudio Completa
Las inecuaciones son como ecuaciones pero con una diferencia crucial: la solución no es un valor único sino un conjunto (un intervalo). Para resolver una inecuación lineal, los pasos son casi idénticos a los de una ecuación: aislar la variable aplicando operaciones inversas. La diferencia está en que al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Este es el punto donde el 60% de los estudiantes comete errores en el COMIPEMS. Para recordarlo, piensa en la recta numérica: si multiplicas −3 < 5 por −1, obtienes 3 > −5 (los roles se invierten). En el COMIPEMS, las inecuaciones aparecen principalmente en tres formatos: resolver una inecuación algebraica simple o de dos pasos, determinar el conjunto solución de una inecuación con valor absoluto, e identificar si un valor dado satisface una inecuación. La práctica con los 15 ejercicios básicos y los 10 adicionales de esta página te prepara para todos estos formatos.
Inecuaciones en Ciencias y Tecnología
Las inecuaciones son fundamentales en programación lineal (optimizar una función sujeta a restricciones de inecuaciones), en física (rangos de temperatura y presión seguros), en química (concentraciones válidas), en economía (restricciones presupuestarias) y en ingeniería (tolerancias de manufactura). En tu vida cotidiana, las inecuaciones están en los límites de velocidad (0 ≤ v ≤ 110 km/h en autopistas mexicanas), los rangos de temperatura de los alimentos, los límites de crédito bancario y los requisitos mínimos de calificación para becas y admisión a escuelas.
Inecuaciones — Errores que DEBES Evitar
Error crítico — Olvidar invertir el signo
−2x < 8 → x < −4 ❌ (incorrecto)
−2x < 8 → dividir entre −2 e invertir → x > −4 ✓ (correcto)
Error frecuente — Valor absoluto
|x| > 3 → ¡son DOS condiciones! x > 3 o x < −3. No solo x > 3.
5 Ejercicios Finales de Repaso
6x−4 ≥ 2x+8
x ≥ 3
−x/3 + 1 > 3
x < −6
|2x−1| ≤ 5
−2 ≤ x ≤ 3
5 < 3x+2 ≤ 14
1 < x ≤ 4
Presupuesto: $x < $1,000 − $350 fijos. ¿Cuánto disponible?
x < $650
Las inecuaciones son el lenguaje matemático de los límites, restricciones y rangos. Todo lo que tiene un mínimo o máximo se expresa con inecuaciones. Con los 25 ejercicios de esta página y la regla del cambio de signo bien memorizada, estás completamente preparado para este tema en el COMIPEMS y en el álgebra de preparatoria.
Inecuaciones de Segundo Grado
Una inecuación cuadrática como x²−5x+6 < 0 se resuelve encontrando primero las raíces de la ecuación correspondiente (x=2 y x=3), y luego determinando en qué intervalos se cumple la inecuación. Para a > 0, la parábola apunta hacia arriba, así que la expresión es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas. x²−5x+6 < 0 → 2 < x < 3. Para x²−5x+6 > 0 → x < 2 o x > 3. Este tema se estudia en profundidad en preparatoria.
Notación de Intervalos
x > 3 en notación de intervalo
(3, +∞)
x ≤ 5 en notación de intervalo
(−∞, 5]
2 ≤ x < 7
[2, 7)
Todos los reales
(−∞, +∞)
5 Aplicaciones de Inecuaciones en México
Talla mínima para atracciones de parque
Para subir a una atracción, la estatura debe ser mayor o igual a 1.20m: h ≥ 120cm. Inecuación simple.
Límite de crédito bancario en México
Tu pago mensual no debe exceder 30% de tu ingreso: pago ≤ 0.30 × ingreso. Si ganas $15,000: pago ≤ $4,500.
Calificación mínima para beca Benito Juárez
Promedio ≥ 7.0 para mantener la beca: p ≥ 7. Si tienes 5 materias con calificaciones c₁...c₅: (c₁+c₂+c₃+c₄+c₅)/5 ≥ 7.
Las inecuaciones son el lenguaje de las restricciones y los rangos permitidos. Con los 25 ejercicios de esta página, la notación de intervalos y las aplicaciones reales, dominas completamente el tema para el COMIPEMS y para el álgebra de preparatoria donde se trabajan inecuaciones cuadráticas y sistemas de inecuaciones.
Resumen: una inecuación se resuelve como una ecuación, con una diferencia crítica: al multiplicar o dividir por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. La solución es un conjunto de valores (intervalo), no un valor único. Se representa en la recta numérica con círculos abiertos (para < y >) o cerrados (para ≤ y ≥). Las inecuaciones con valor absoluto generan dos condiciones simultáneas. Con los 25 ejercicios y las aplicaciones reales de esta página tienes práctica completa para el COMIPEMS y para el álgebra de preparatoria donde se trabajan inecuaciones cuadráticas y sistemas.
Dominar las inecuaciones requiere una sola regla adicional respecto a las ecuaciones: el signo se invierte al multiplicar o dividir por negativo. Una vez que esa regla está automatizada, resolver inecuaciones lineales es tan rápido como resolver ecuaciones. Para las inecuaciones con valor absoluto, recuerda que generan dos condiciones: |x|<a equivale a −a<x<a, y |x|>a equivale a x<−a o x>a. Practicar ambos tipos con los ejercicios de esta página te deja completamente listo para el COMIPEMS.
Regla más importante: al multiplicar o dividir por negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Esto diferencia las inecuaciones de las ecuaciones y es el error más frecuente en el COMIPEMS.
Las inecuaciones lineales se resuelven como ecuaciones con una sola regla extra: invertir el signo al multiplicar o dividir por negativo. Con esta regla dominada y los 25 ejercicios de práctica, estás completamente listo para el COMIPEMS y para la programación lineal de preparatoria.
La regla del cambio de signo en inecuaciones es tan importante que deberías practicarla hasta que sea un reflejo: cada vez que dividas o multipliques por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de sentido. Esta es la única diferencia real entre resolver ecuaciones e inecuaciones.