12 ejercicios de ecuaciones cuadráticas resueltos: fórmula general, factorización y completar el cuadrado. Con discriminante y verificación. Para prepa y secundaria.
Fórmula general: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a para ax²+bx+c=0. Discriminante: Δ=b²−4ac. Si Δ>0: 2 soluciones reales. Si Δ=0: 1 solución. Si Δ<0: sin soluciones reales.
Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es toda ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, donde a ≠ 0. El término "cuadrática" viene del latín quadratus (cuadrado), porque el máximo exponente de la variable es 2.
Las ecuaciones cuadráticas aparecen en física (tiro parabólico), ingeniería, economía y geometría. Dominarlas es esencial para cualquier estudiante de secundaria y preparatoria.
Para cualquier ecuación ax²+bx+c=0, la solución es:
x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a
Cómo aplicarla en 4 pasos:
| Discriminante Δ = b²−4ac | Tipo de solución | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | 2 soluciones reales distintas | x²−5x+6=0 → x=2 y x=3 |
| Δ = 0 | 1 solución real (raíz doble) | x²−4x+4=0 → x=2 |
| Δ < 0 | Sin soluciones reales (complejas) | x²+x+1=0 → no hay |
Si la ecuación es x²+bx+c=0 (a=1), busca dos números r y s tal que r·s=c y r+s=b. Entonces (x+r)(x+s)=0, y las soluciones son x=−r y x=−s.
Para x²+bx+c=0: mueve c al otro lado, suma (b/2)² a ambos lados, y factoriza el cuadrado perfecto.
La ecuación tiene DOS soluciones. Muchos estudiantes solo calculan una y pierden puntos. Siempre calcula x con + y luego con −.
Si la ecuación es x²=5x−6, PRIMERO reescríbela como x²−5x+6=0 antes de identificar a, b, c.
Si b=−5, en la fórmula −b=−(−5)=+5. Muchos olvidan cambiar el signo. Escribe −b explícitamente.
Sustituye cada solución en la ecuación original. Si no obtienes 0, hay un error en el cálculo.
Usa factorización cuando los coeficientes son enteros pequeños y la ecuación factoriza fácilmente. Usa la fórmula general siempre que factorizar sea difícil o cuando los coeficientes son decimales o fracciones.
Significa que la parábola no cruza el eje x. No existen soluciones reales, pero sí soluciones complejas (con la unidad imaginaria i). En secundaria generalmente se dice "no tiene solución".
No. El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que una ecuación de grado n tiene exactamente n soluciones (contando multiplicidad y números complejos). Una cuadrática siempre tiene exactamente 2.
El mayor exponente de la variable debe ser exactamente 2, y el coeficiente de x² debe ser distinto de cero. x³+x²=0 no es cuadrática (es cúbica). 3x+5=0 no es cuadrática (es lineal).
Cuando Δ=0, las dos soluciones coinciden. Por ejemplo, x²−6x+9=0 tiene raíz doble x=3. La parábola toca el eje x en exactamente un punto (tangente).
Resuelve estos ejercicios aplicando la fórmula general. Las respuestas están al final.
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