15 ejercicios de trigonometría resueltos paso a paso: sen, cos, tan con SOH-CAH-TOA, triángulos rectángulos y ángulos especiales. Para secundaria y prepa.
SOH-CAH-TOA: Sen=Opuesto/Hipotenusa · Cos=Adyacente/Hipotenusa · Tan=Opuesto/Adyacente. Ángulos especiales: sen(30°)=0.5, sen(45°)=√2/2≈0.707, sen(60°)=√3/2≈0.866.
sen²(θ)+cos²(θ)=1 para cualquier ángulo. Si sabes que sen(θ)=0.6, entonces cos²(θ)=1−0.36=0.64, cos(θ)=0.8. Esta identidad permite calcular una razón trigonométrica conociendo otra.
| Razón | Fórmula | Mnemotecnia |
|---|---|---|
| Seno (sin) | opuesto/hipotenusa | SOH |
| Coseno (cos) | adyacente/hipotenusa | CAH |
| Tangente (tan) | opuesto/adyacente | TOA |
sin(θ)=3/5=0.6. θ=arcsin(0.6)≈36.87°.
sin(30°)=0.5. opuesto=0.5×10=5.
cos(45°)=0.707. 0.707=7/h. h=7/0.707=9.9.
Es un truco para recordar las razones: Seno=Opuesto/Hipotenusa, Coseno=Adyacente/Hipotenusa, Tangente=Opuesto/Adyacente.
Arquitectura (calcular alturas), navegación (GPS), ingeniería (puentes), astronomía y videojuegos (ángulos de movimiento).
Trigonometría viene del griego: "trigono" (triángulo) + "metria" (medida). Es literalmente la ciencia de medir triángulos. Surgió hace más de 2,000 años para resolver problemas de astronomía y arquitectura. Hoy se usa en GPS, videojuegos, ingeniería y arquitectura.
En un triángulo rectángulo, para un ángulo θ (theta) cualquiera, los lados tienen nombres relativos a ese ángulo:
El lado que está frente al ángulo θ. No toca al ángulo.
El lado que forma el ángulo θ (junto con la hipotenusa).
El lado más largo. Siempre frente al ángulo recto (90°).
SOH: Seno = Opuesto / Hipotenusa
CAH: Coseno = Adyacente / Hipotenusa
TOA: Tangente = Opuesto / Adyacente
| Ángulo | Seno | Coseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 0.5 | 0.866 | 0.577 |
| 45° | 0.707 | 0.707 | 1 |
| 60° | 0.866 | 0.5 | 1.732 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Depende de qué datos tienes: si tienes opuesto e hipotenusa → seno. Si tienes adyacente e hipotenusa → coseno. Si tienes opuesto y adyacente → tangente.
Arquitectura (calcular alturas de edificios), navegación (GPS funciona con trigonometría), ingeniería (diseño de puentes), videojuegos (cálculo de ángulos y movimiento).
Son las funciones inversas. Si sin(θ)=0.5 entonces θ=arcsin(0.5)=30°. Las usas cuando conoces la razón y quieres saber el ángulo.
Sí, pero usas otras fórmulas: Ley de senos y Ley de cosenos. La trigonometría básica del SOH-CAH-TOA solo aplica a triángulos rectángulos.
Los ejercicios de trigonometría en secundaria y COMIPEMS se dividen en cuatro tipos principales: calcular razones trigonométricas dado un triángulo rectángulo, encontrar lados desconocidos usando sen/cos/tan, aplicar el teorema de Pitágoras, y resolver problemas de ángulos de elevación y depresión.
Triangulo rectángulo con cateto opuesto=3, adyacente=4. Hipotenusa=5 (Pitágoras).
sen(θ)=3/5=0.6 | cos(θ)=4/5=0.8 | tan(θ)=3/4=0.75
Hipotenusa=10, ángulo=30°. ¿Cateto opuesto?
sen(30°)=opuesto/10 → opuesto=10×0.5=5
Hipotenusa=8, ángulo=45°. ¿Cateto adyacente?
cos(45°)=adyacente/8 → adyacente=8×(√2/2)≈5.66
Cateto opuesto=6, ángulo=30°. ¿Hipotenusa?
sen(30°)=6/hip → hip=6/0.5=12
Cateto adyacente=5, ángulo=60°. ¿Cateto opuesto?
tan(60°)=opuesto/5 → opuesto=5×√3≈8.66
Edificio de 40m visto desde 40m de distancia. ¿Ángulo de elevación?
tan(θ)=40/40=1 → θ=45°
Desde 20m, ángulo de elevación=30°. ¿Altura del árbol?
tan(30°)=h/20 → h=20×(√3/3)≈11.55m
sen(θ)=5/13. Calcula cos(θ) y tan(θ).
cateto adyacente=√(13²−5²)=√144=12. cos(θ)=12/13. tan(θ)=5/12
En el área del triángulo, la altura debe ser perpendicular a la base. El lado inclinado no es la altura.
Opuesto y adyacente son RESPECTO AL ANGULO de interés, no al triángulo en general. Si el ángulo cambia, cambian los roles de los lados.
Solo para triángulos rectángulos (los que tienen un ángulo de 90°). Para triángulos sin ángulo recto se usan la Ley de Senos y la Ley de Cosenos.
La trigonometría es uno de los temas más evaluados en el COMIPEMS por su combinación de geometría y álgebra. Con los 15 ejercicios de esta página, cubriendo todos los tipos (calcular razones, encontrar lados desconocidos, ángulos de elevación), tienes la práctica completa para el examen.
La trigonometría aparece en el COMIPEMS principalmente en problemas de triángulos rectángulos donde debes encontrar un lado o un ángulo desconocido. La mayoría usa ángulos notables (30°, 45°, 60°) para que los cálculos sean exactos sin calculadora. Aquí tienes 10 ejercicios adicionales del tipo que más aparece en el examen.
Un bloque de 10kg en un plano a 30°. Componente paralela al plano (que tiende a deslizarlo): F‖ = mg×sen(30°) = 10×10×0.5 = 50N. Componente perpendicular: F⊥ = mg×cos(30°) = 10×10×0.866 = 86.6N
Un proyectil lanzado a 45° con velocidad inicial v₀=20 m/s. Componente horizontal: vₓ=v₀×cos(45°)=20×(√2/2)≈14.14 m/s. Componente vertical: vᵧ=v₀×sen(45°)≈14.14 m/s
Con los 15 ejercicios básicos y los 10 adicionales de esta página, más las aplicaciones en física, dominas completamente la trigonometría de triángulos rectángulos necesaria para el COMIPEMS y para los primeros cursos de física en preparatoria. La clave es memorizar SOH-CAH-TOA y la tabla de ángulos notables hasta que sean reflejos automáticos.
Este tema aparece frecuentemente en el COMIPEMS y en los exámenes de secundaria. Con todos los ejercicios y problemas de esta página tienes práctica suficiente para resolver cualquier variante en menos de dos minutos. La clave es practicar regularmente hasta que el proceso sea automático, liberando tu atención para el razonamiento del problema y no para la mecánica del cálculo.
SOH — Seno = Opuesto / Hipotenusa
Cateto opuesto = hipotenusa × sen(ángulo). Ej: ángulo=30°, hip=10 → opuesto=10×0.5=5
CAH — Coseno = Adyacente / Hipotenusa
Cateto adyacente = hipotenusa × cos(ángulo). Ej: ángulo=60°, hip=8 → adyacente=8×0.5=4
TOA — Tangente = Opuesto / Adyacente
tan(A)=opuesto÷adyacente. Si catetos=5 y 5 → tan(A)=1 → A=45°
SohCahToa — La Regla Mnemotecnica
Sen(A) = Opuesto / Hipotenusa (Soh)
Cos(A) = Adyacente / Hipotenusa (Cah)
Tan(A) = Opuesto / Adyacente (Toa)
Tan(A) = Sen(A) / Cos(A)
Identidad Fundamental — Sen²+Cos²=1
Para cualquier angulo: Sen²(A) + Cos²(A) = 1
Util para encontrar una razon si conoces otra: si Sen(A)=0.6, Cos(A)=√(1-0.36)=0.8
SEN: opuesto÷hip | cos(30°)=0.866 | cos(45°)=0.707 | cos(60°)=0.5
COS: adyacente÷hip | sen(30°)=0.5 | sen(45°)=0.707 | sen(60°)=0.866
TAN: opuesto÷adyacente | tan(30°)=0.577 | tan(45°)=1 | tan(60°)=1.732
Identidad: sen²(θ)+cos²(θ)=1 siempre, para cualquier ángulo θ
Con la tabla de ángulos notables memorizada, SOH-CAH-TOA y la identidad pitagórica, más los 30 ejercicios de esta página, dominas completamente la trigonometría del triángulo rectángulo para el COMIPEMS y estás listo para la trigonometría del círculo unitario que se estudia en preparatoria.
La trigonometría conecta múltiples áreas de las matemáticas. Con geometría, las razones trigonométricas permiten calcular lados y ángulos de triángulos sin medir directamente. Con álgebra, la identidad pitagórica (sen²θ + cos²θ = 1) es una ecuación que relaciona las funciones. Con física, las componentes de vectores de fuerza, velocidad y desplazamiento se calculan con seno y coseno. Con cálculo, las derivadas de seno y coseno son la base del análisis de funciones periódicas. En el programa SEP de 3° de secundaria, el tema se limita al triángulo rectángulo con ángulos notables. En el COMIPEMS aparecen problemas de nivel secundaria, pero conocer el vínculo con la física y la geometría analítica te da una comprensión más profunda y te ayuda a resolver problemas de contexto.
Con los 30 ejercicios resueltos de esta página — incluyendo los 15 principales, los 10 COMIPEMS y los 5 de repaso final — más las tablas de valores, la guía SOH-CAH-TOA y los problemas de aplicación real, tienes la práctica completa para dominar la trigonometría de triángulos rectángulos en cualquier examen de secundaria.
Resumen final de trigonometría: SOH-CAH-TOA para triángulos rectángulos. Tabla de ángulos notables: 0°(sen=0,cos=1), 30°(1/2,√3/2), 45°(√2/2,√2/2), 60°(√3/2,1/2), 90°(1,0). Identidad fundamental: sen²+cos²=1 siempre. Ángulos complementarios: sen(θ)=cos(90°−θ). Para problemas de elevación/depresión, el ángulo es entre la horizontal y la línea de visión. Con los 30 ejercicios de esta página —incluyendo razones, lados desconocidos, aplicaciones reales y COMIPEMS— tienes dominio completo del tema para cualquier examen de secundaria.
La trigonometría del triángulo rectángulo es el puente entre la geometría plana que estudiaste en 1° y 2° de secundaria y la trigonometría completa de la circunferencia unitaria que se estudia en preparatoria. Dominar SOH-CAH-TOA, la tabla de ángulos notables y la identidad pitagórica desde 3° de secundaria te da una base sólida que se construye en preparatoria con las funciones trigonométricas de ángulos en los cuatro cuadrantes, las identidades de doble ángulo, las leyes de senos y cosenos para triángulos oblicuos, y eventualmente las series trigonométricas de Fourier en física e ingeniería.
SOH-CAH-TOA: identifica siempre los tres lados del triángulo (opuesto, adyacente, hipotenusa) RESPECTO al ángulo de interés antes de elegir qué razón trigonométrica usar. Este paso evita el error más frecuente del tema.
La trigonometría del triángulo rectángulo con SOH-CAH-TOA y la tabla de ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) cubre todo lo que el COMIPEMS evalúa en este tema. Con los 30 ejercicios resueltos de esta página, la práctica es suficiente para cualquier variante del tema en el examen de admisión a preparatoria en México.
Practica identificar opuesto, adyacente e hipotenusa respecto al ángulo de interés hasta que sea automático. Con esa habilidad dominada, la elección de SOH, CAH o TOA fluye naturalmente y puedes resolver cualquier ejercicio de trigonometría de triángulo rectángulo en menos de un minuto.
| Angulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0 grados | 0 | 1 | 0 |
| 30 grados | 1/2 | raiz(3)/2 | raiz(3)/3 |
| 45 grados | raiz(2)/2 | raiz(2)/2 | 1 |
| 60 grados | raiz(3)/2 | 1/2 | raiz(3) |
| 90 grados | 1 | 0 | indefinido |