Explora la notación Sigma, las sumas de Riemann y la integral definida a través de visualizaciones interactivas.
La notación Sigma (Σ) es una forma compacta y elegante de representar la suma de muchos términos que siguen un patrón.
Definición formal: $\displaystyle\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_n$. Se suman todos los valores de $a_i$ mientras el índice $i$ recorre desde $m$ hasta $n$, inclusive.
Aquí $a_i = i$. El índice recorre 1, 2, 3, 4, 5 y sumamos cada valor directamente.
Aquí $a_i = i^2$. El índice eleva al cuadrado cada valor antes de sumar. Existe la fórmula cerrada: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Fórmula de Gauss. Para $n=100$: $\displaystyle\sum_{i=1}^{100} i = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050$. Esta fórmula es fundamental para calcular sumas de Riemann.
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} c\,a_i = c\sum_{i=1}^{n} a_i$ (factor constante)
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i \pm \sum_{i=1}^{n} b_i$ (linealidad)
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} c = n \cdot c$ (suma de constante)
Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva dividiendo la región en rectángulos. Cuantos más rectángulos, mayor es la precisión.
Dada una función $f(x)$ continua en $[a, b]$, dividimos el intervalo en $n$ subintervalos de ancho $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$. En cada subintervalo elegimos un punto muestra $x_i^*$ y formamos un rectángulo de altura $f(x_i^*)$. La suma de todas las áreas es:
Usa el extremo izquierdo de cada subintervalo.
Usa el extremo derecho de cada subintervalo.
Generalmente más preciso que los extremos.
Identifica la función $f(x)$, el intervalo $[a,b]$ y el número de subintervalos $n$.
Calcula el ancho de cada subintervalo: $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$.
Determina los puntos muestra $x_i^*$ según el método elegido (izquierdo, derecho o medio).
Evalúa $f(x_i^*)$ para cada subintervalo y multiplica por $\Delta x$.
Suma todos los productos: $S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$.
$\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0.5$. Puntos: $x_1=0.5,\;x_2=1,\;x_3=1.5,\;x_4=2$
El valor exacto es $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} \approx 2.667$. Con $n \to \infty$ las sumas convergen a ese valor.
La integral definida es el límite de las sumas de Riemann cuando el número de subintervalos tiende a infinito. Representa el "área neta" bajo la curva.
Definición como límite: Si $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces
Si $F$ es una antiderivada de $f$ (es decir, $F'(x)=f(x)$), entonces:
Esto transforma el cálculo de áreas en una operación algebraica. La notación $\Big[F(x)\Big]_a^b$ significa $F(b)-F(a)$.
Antiderivada: $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$
Evaluar en los límites: $F(3) = \dfrac{27}{3} = 9$ y $F(0) = 0$
Resultado: $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^3 = 9 - 0 = \mathbf{9}$
Antiderivada: $F(x) = -\cos(x)$
$F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1$ y $F(0) = -\cos(0) = -1$
Resultado: $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = 1-(-1) = \mathbf{2}$
$\displaystyle\int_a^b cf(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b [f(x)\pm g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ y $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$
Pon a prueba lo aprendido con este cuestionario interactivo.
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