⚡ RESPUESTA RÁPIDA
Logaritmo: logₐ(x)=y significa aʸ=x. log₁₀(100)=2 porque 10²=100. log₂(8)=3 porque 2³=8. Propiedades clave: log(A·B)=logA+logB, log(A/B)=logA−logB, log(Aⁿ)=n·logA.
Definición y Lectura — Cómo Interpretar un Logaritmo
logₐ(x) = y se lee "logaritmo de x en base a es igual a y" y significa que aʸ = x. El logaritmo pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener x?
Las 5 Propiedades — Con Ejemplos Resueltos
Producto: log(A·B) = logA + logBlog₂(4·8) = log₂(4) + log₂(8) = 2+3 = 5. Verifica: 2⁵=32=4·8 ✓
Cociente: log(A/B) = logA − logBlog₁₀(1000/10) = log(1000)−log(10) = 3−1 = 2. 10²=100=1000/10 ✓
Potencia: log(Aⁿ) = n·logAlog₂(8³) = 3·log₂(8) = 3·3 = 9. 2⁹=512=8³ ✓
Cambio de base: logₐ(x) = log(x)/log(a)log₃(20) = log(20)/log(3) = 1.301/0.477 = 2.727.
Logaritmo de la base: logₐ(a) = 1 siemprelog₅(5)=1, log₁₀(10)=1, log₂(2)=1. La base elevada a 1 es ella misma.
6 Ecuaciones Logarítmicas Resueltas
log₂(x) = 52⁵ = x. x = 32.
log(x) = 3Base 10. 10³ = x. x = 1,000.
log₃(x+1) = 23² = x+1. 9 = x+1. x = 8.
log₂(x) + log₂(4) = 5log₂(4x) = 5. 2⁵ = 4x. 32 = 4x. x = 8.
2·log(x) = log(25)log(x²) = log(25). x² = 25. x = 5.
log₅(x²−4) = log₅(12)x²−4 = 12. x² = 16. x = ±4.
Logaritmos en la Vida Real
- Escala Richter: un sismo de 7 libera 10 veces más energía que uno de 6. La escala es logarítmica.
- Decibelios (sonido): 80dB no es el doble de 40dB — es 10,000 veces más intenso.
- pH: pH=−log[H⁺]. Una solución de pH 3 es 10 veces más ácida que una de pH 4.
- Interés compuesto: para calcular en cuántos años se duplica una inversión: t = log(2)/log(1+r).
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