Introduccion al algebra lineal: vectores, matrices, operaciones, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Base del machine learning y la grafica 3D.
El algebra lineal estudia los vectores, las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Es la matematica de las transformaciones lineales — operaciones que preservan la estructura del espacio. Es la base matematica del machine learning, la computacion grafica 3D, la fisica cuantica, la economia y practicamente cualquier campo que use datos numericos.
Un vector es una lista ordenada de numeros. v=(3,4) es un vector de 2D. u=(1,2,3) es un vector de 3D. Las operaciones basicas: suma componente a componente, multiplicacion por escalar. El modulo (longitud) de v=(3,4): |v|=raiz(9+16)=5.
Una matriz es una tabla de numeros. La identidad 2×2 es [[1,0],[0,1]]. La matriz [[3,1],[2,4]] tiene determinante 3×4-1×2=10. Las matrices representan transformaciones lineales: rotaciones, reflexiones, escalas y proyecciones en geometria computacional.
Un sistema de n ecuaciones con n incognitas puede resolverse con matrices. El sistema 2x+y=7, x-y=2 en forma matricial es [[2,1],[1,-1]] × [x,y] = [7,2]. Usando la regla de Cramer: x = det_x/det donde det_x reemplaza la primera columna por [7,2]. x = det([[7,1],[2,-1]])/det([[2,1],[1,-1]]) = (-7-2)/(-2-1) = -9/-3 = 3. y = (2-7)/(-3) = 1.
El algebra lineal es la matematica detras de ChatGPT y todos los modelos de lenguaje. Las redes neuronales son matrices gigantes (millon × millon de entradas) multiplicadas secuencialmente. El entrenamiento ajusta estos valores matriciales minimizando el error de prediccion. La multiplicacion de matrices es la operacion computacional mas ejecutada en el planeta — cada vez que usas Google, Netflix, Spotify o cualquier IA, tu dispositivo esta realizando algebra lineal. Aprender las bases es entender los fundamentos matematicos de la era digital.
Gráficos por computadora (rotaciones y transformaciones), machine learning (matrices de datos), economía (sistemas de ecuaciones múltiples), ingeniería (análisis estructural), física (mecánica cuántica).
Si det≠0, el sistema Ax=b tiene solución única. Si det=0, no tiene solución o tiene infinitas. La regla de Cramer usa determinantes para resolver sistemas.
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No. El álgebra de secundaria trabaja con números y ecuaciones. El álgebra lineal trabaja con vectores, matrices y transformaciones lineales. Se estudia en universidad.
No directamente. En cambio, se multiplica por la inversa. A÷B=A×B⁻¹, donde B⁻¹ es la matriz inversa de B (si existe, cuando det≠0).
Una función que lleva vectores a vectores preservando la suma y el producto escalar. Rotaciones, reflexiones y proyecciones son transformaciones lineales.
Sistema: a1x + b1y = c1 | a2x + b2y = c2
Ecuacion 1
Ecuacion 2
Metodo de Sustitucion
1) Despeja una variable (ej: y=c1-a1x/b1). 2) Sustituye en la otra ecuacion. 3) Resuelve para x. 4) Sustituye para encontrar y.
Metodo de Eliminacion
Multiplica las ecuaciones para que un coeficiente sea opuesto. Suma las ecuaciones para eliminar esa variable. Resuelve la variable restante.