Aprende a sumar, restar y multiplicar matrices con ejercicios resueltos. Con la identidad, transpuesta y determinante de matrices 2x2 y 3x3.
Una matriz es una tabla rectangular de numeros organizados en filas y columnas. Una matriz de 2x3 tiene 2 filas y 3 columnas. Los elementos se denotan a_ij donde i es la fila y j la columna. Las matrices se usan en sistemas de ecuaciones, transformaciones geometricas, graficas de computadora y machine learning.
Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Se suman los elementos en la misma posicion: [1,2;3,4] + [5,6;7,8] = [1+5, 2+6; 3+7, 4+8] = [6,8;10,12]. La suma es conmutativa: A+B = B+A.
Para multiplicar matrices, el numero de columnas de A debe igualar el numero de filas de B. Cada elemento c_ij es la suma de productos de la fila i de A con la columna j de B. Para matrices 2x2: c_11 = a_11×b_11 + a_12×b_21. La multiplicacion de matrices NO es conmutativa: A×B ≠ B×A en general.
Para la matriz [a,b;c,d], el determinante es: det = a×d - b×c. Para [3,1;2,4]: det = 3×4 - 1×2 = 12-2 = 10. El determinante indica si la matriz tiene inversa (det ≠ 0) o es singular (det = 0). Las matrices con determinante diferente de cero pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones con la Regla de Cramer.
Las matrices son la herramienta matematica del machine learning y la inteligencia artificial. Las redes neuronales son esencialmente una secuencia de multiplicaciones de matrices — los pesos de la red son matrices y las capas de neuronas son vectores. Cuando tu telefono reconoce tu cara, una GPU realiza billones de multiplicaciones de matrices por segundo. Entender matrices es entender los fundamentos matematicos de la IA moderna.
Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Se usan en economía (tablas de costos), computación (gráficos 3D, inteligencia artificial), física (sistemas de fuerzas) y estadística (análisis de datos). Cuando ves efectos visuales en películas o videojuegos, hay matrices trabajando detrás.
Mismo número de filas y columnas. Ejemplo: 2×2, 3×3. Son las más usadas en ejercicios.
Solo una fila. Ejemplo: [3 7 −2]
Diagonal de unos, resto ceros. Es el "1" de las matrices: cualquier matriz × identidad = ella misma.
Todos los elementos son cero. Es el "0" de las matrices.
Multiplicas cada elemento de la matriz por el número (escalar):
Posición (1,1): fila 1 de A × col 1 de B = (1×5)+(2×7) = 5+14 = 19
Posición (1,2): fila 1 de A × col 2 de B = (1×6)+(2×8) = 6+16 = 22
Posición (2,1): fila 2 de A × col 1 de B = (3×5)+(4×7) = 15+28 = 43
Posición (2,2): fila 2 de A × col 2 de B = (3×6)+(4×8) = 18+32 = 50
Resultado: [19 22 / 43 50]
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No. En general A×B ≠ B×A. Esta es una diferencia fundamental con los números ordinarios y causa muchos errores en principiantes.
No. Para multiplicar A×B, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Si A es 2×3 y B es 3×4, sí se puede. Si A es 2×3 y B es 2×4, no se puede.
En computación gráfica para rotaciones y transformaciones 3D. En economía para modelos de insumo-producto. En inteligencia artificial, las redes neuronales son básicamente multiplicaciones de matrices enormes.