Aprende a sumar, restar y multiplicar matrices con ejercicios resueltos. Con la identidad, transpuesta y determinante de matrices 2x2 y 3x3.
Una matriz es una tabla rectangular de numeros organizados en filas y columnas. Una matriz de 2x3 tiene 2 filas y 3 columnas. Los elementos se denotan a_ij donde i es la fila y j la columna. Las matrices se usan en sistemas de ecuaciones, transformaciones geometricas, graficas de computadora y machine learning.
Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño. Se suman los elementos en la misma posicion: [1,2;3,4] + [5,6;7,8] = [1+5, 2+6; 3+7, 4+8] = [6,8;10,12]. La suma es conmutativa: A+B = B+A.
Para multiplicar matrices, el numero de columnas de A debe igualar el numero de filas de B. Cada elemento c_ij es la suma de productos de la fila i de A con la columna j de B. Para matrices 2x2: c_11 = a_11×b_11 + a_12×b_21. La multiplicacion de matrices NO es conmutativa: A×B ≠ B×A en general.
Para la matriz [a,b;c,d], el determinante es: det = a×d - b×c. Para [3,1;2,4]: det = 3×4 - 1×2 = 12-2 = 10. El determinante indica si la matriz tiene inversa (det ≠ 0) o es singular (det = 0). Las matrices con determinante diferente de cero pueden usarse para resolver sistemas de ecuaciones con la Regla de Cramer.
Las matrices son la herramienta matematica del machine learning y la inteligencia artificial. Las redes neuronales son esencialmente una secuencia de multiplicaciones de matrices — los pesos de la red son matrices y las capas de neuronas son vectores. Cuando tu telefono reconoce tu cara, una GPU realiza billones de multiplicaciones de matrices por segundo. Entender matrices es entender los fundamentos matematicos de la IA moderna.
Las matrices tienen una aplicacion fascinante en graficas por computadora. Cada punto de una figura en el plano puede representarse como un vector [x,y,1]. Una rotacion de angulo theta es la matriz [[cos θ, -sin θ, 0],[sin θ, cos θ, 0],[0,0,1]]. Multiplicar esta matriz por el vector da el punto rotado. Una traslacion, escala y rotacion compuestas son una sola multiplicacion de matrices. Cuando un videojuego mueve, rota y escala un personaje en 3D, ejecuta millones de multiplicaciones de matrices por segundo usando la GPU.
La teoria de grafos usa matrices de adyacencia. Una red social con N personas es una matriz NxN donde la entrada (i,j) es 1 si i y j son amigos, 0 si no. Las potencias de esta matriz revelan conexiones indirectas: la entrada (i,j) de la matriz elevada al cuadrado indica cuantos amigos comunes tienen i y j. Esta es la matematica detras de sugerencias de amigos en redes sociales. Google PageRank, el algoritmo original de busqueda de Google, es esencialmente el calculo del vector propio dominante de una matriz gigante de enlaces web.