Aprende que es un vector, como sumarlo, restarlo y calcular su modulo. Con aplicaciones en fisica (fuerza, velocidad) y representacion en el plano.
Un vector es una cantidad que tiene magnitud (tamano) y direccion. Se representa con una flecha. Se diferencia de un escalar (solo magnitud, como la temperatura o la masa). Ejemplos vectoriales: velocidad (50 km/h al norte), fuerza (10 N hacia abajo), desplazamiento (5 m al este). En matematicas, un vector en 2D se escribe como v=(vx, vy) o como (r, θ) en coordenadas polares.
Suma: A+B = (Ax+Bx, Ay+By). Para A=(3,4) y B=(1,-2): A+B=(4,2). Resta: A-B=(Ax-Bx, Ay-By). A-B=(2,6). Multiplicacion por escalar: 2A=(6,8).
El modulo (magnitud) de v=(vx,vy) es |v|=raiz(vx²+vy²). Para v=(3,4): |v|=raiz(9+16)=raiz(25)=5. Esta formula es el Teorema de Pitagoras aplicado a los componentes del vector. El vector (3,4) es la hipotenusa de un triangulo rectangulo de catetos 3 y 4.
Dos fuerzas actuan sobre un objeto: F1=(4,0) N (horizontal) y F2=(0,3) N (vertical). La fuerza resultante es F1+F2=(4,3) N. Su magnitud es raiz(16+9)=5 N. La direccion es arctan(3/4)≈36.9° sobre la horizontal. En fisica, la suma de vectores determina el movimiento real de objetos bajo multiples fuerzas.
Los vectores son la base del algebra lineal, que a su vez es la matematica del machine learning. Los modelos de lenguaje como ChatGPT representan palabras como vectores de alta dimension (word embeddings) donde la similitud entre palabras se mide como el angulo entre sus vectores. La frase famosa rey - hombre + mujer ≈ reina es una operacion vectorial de suma y resta. Los modelos de inteligencia artificial son, en el fondo, operaciones con vectores y matrices en espacios de miles de dimensiones.
El producto punto (o producto escalar) de dos vectores A·B = Ax×Bx + Ay×By = |A|×|B|×cos(θ) es una operacion vectorial fundamental. Para A=(3,4) y B=(1,2): A·B = 3×1+4×2 = 11. El producto punto es cero cuando los vectores son perpendiculares (cos 90°=0). Esta propiedad se usa constantemente en fisica (el trabajo realizado por una fuerza sobre un desplazamiento perpendicular es cero) y en geometria computacional (verificar perpendicularidad sin calcular angulos). El producto vectorial (cross product) en 3D da un vector perpendicular a ambos, fundamental en electrodinamica.
En videojuegos y animacion 3D, los vectores son omnipresentes. La posicion de cada objeto es un vector de 3 componentes (x,y,z). La velocidad, la aceleracion y las fuerzas son vectores. La iluminacion de cada superficie se calcula usando el producto punto entre el vector de la superficie y el vector de la luz — si el angulo es grande (superficies casi paralelas a la luz), el producto punto es pequeno y la superficie aparece oscura. Esta operacion vectorial, repetida millones de veces por segundo por la GPU, es la matematica detras de los graficos realistas de videojuegos modernos.