Aprende a completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadraticas, encontrar el vertice de una parabola y derivar la formula general.
Completar el cuadrado es transformar ax²+bx+c en a(x-h)²+k. Es una tecnica para convertir cualquier trinomio cuadratico en un cuadrado perfecto mas una constante. Tiene tres usos principales: resolver ecuaciones cuadraticas, encontrar el vertice de una parabola, y derivar la formula general.
Para x²+6x+2=0: completa el cuadrado: (x+3)²-7=0. (x+3)²=7. x+3=±raiz(7). x = -3 ± raiz(7). x₁ = -3+2.646 = -0.354. x₂ = -3-2.646 = -5.646. Este metodo funciona para cualquier ecuacion cuadratica, incluso cuando no factoriza con enteros.
Completar el cuadrado en la ecuacion general ax²+bx+c=0 da exactamente la formula cuadratica. Dividir entre a: x²+(b/a)x+c/a=0. Completar el cuadrado con (b/2a)²: (x+b/2a)²= b²/4a²-c/a = (b²-4ac)/4a². Despejando: x+b/2a = ±raiz(b²-4ac)/2a. Entonces x = (-b±raiz(b²-4ac))/2a. La formula general no es magica — es completar el cuadrado aplicado al caso general.
Si lo aplicas a ax²+bx+c=0, después de varios pasos algebraicos obtienes exactamente x=(−b±√(b²−4ac))/2a. La fórmula general es simplemente el resultado de completar el cuadrado en forma general.
y=a(x−h)²+k. h y k son las coordenadas del vértice. a>0: parábola abre arriba. a<0: abre abajo.
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Sí, para cualquier ecuación cuadrática. No siempre es el método más rápido, pero siempre funciona.
Divide toda la ecuación entre ese coeficiente primero. 2x²+8x+6=0 → divide entre 2 → x²+4x+3=0. Luego completa el cuadrado.
Solo si a>0 (parábola abre arriba). Si a<0 (abre abajo), el vértice es un máximo. En optimización se busca ese punto.
Completar el cuadrado es la técnica que está detrás de la fórmula cuadrática. Si la derivas, partes de ax²+bx+c=0, divides entre a, completas el cuadrado y obtienes x=(-b±√(b²−4ac))/2a. Es también la técnica para encontrar el vértice de cualquier parábola.
Método: Para ax²+bx+c=0, completar el cuadrado:
1. Divide entre a si a≠1
2. Pasa c al otro lado
3. Suma (b/2)² a ambos lados
4. Escribe el cuadrado perfecto y despeja x
Ejemplo: x²+6x+5=0 → x²+6x=−5 → x²+6x+9=4 → (x+3)²=4 → x=−1 o x=−5
Completar el cuadrado sirve para dos cosas: resolver ecuaciones cuadráticas Y encontrar la forma vértice de una parábola y=(x−h)²+k, donde (h,k) es el vértice. Es más general que factorizar porque funciona cuando la ecuación no factoriza con enteros.
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