Aprende a completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadraticas, encontrar el vertice de una parabola y derivar la formula general.
Completar el cuadrado es transformar ax²+bx+c en a(x-h)²+k. Es una tecnica para convertir cualquier trinomio cuadratico en un cuadrado perfecto mas una constante. Tiene tres usos principales: resolver ecuaciones cuadraticas, encontrar el vertice de una parabola, y derivar la formula general.
Para x²+6x+2=0: completa el cuadrado: (x+3)²-7=0. (x+3)²=7. x+3=±raiz(7). x = -3 ± raiz(7). x₁ = -3+2.646 = -0.354. x₂ = -3-2.646 = -5.646. Este metodo funciona para cualquier ecuacion cuadratica, incluso cuando no factoriza con enteros.
Completar el cuadrado en la ecuacion general ax²+bx+c=0 da exactamente la formula cuadratica. Dividir entre a: x²+(b/a)x+c/a=0. Completar el cuadrado con (b/2a)²: (x+b/2a)²= b²/4a²-c/a = (b²-4ac)/4a². Despejando: x+b/2a = ±raiz(b²-4ac)/2a. Entonces x = (-b±raiz(b²-4ac))/2a. La formula general no es magica — es completar el cuadrado aplicado al caso general.
Completar el cuadrado tiene una hermosa interpretacion geometrica. Para x²+6x: imagina un cuadrado de lado x (area x²) y un rectangulo de 6x×1 (area 6x). Para hacer un cuadrado perfecto, parte el rectangulo en dos mitades de 3x y ponlas a los dos lados del cuadrado de x. Ahora tienes una figura casi cuadrada de lado x+3 a la que le falta la esquina de 3×3=9. Por eso x²+6x+9=(x+3)². La operacion de completar el cuadrado no es un truco algebraico arbitrario — es literalmente completar un cuadrado geometrico.
Completar el cuadrado en dos variables, x²+y²+Dx+Ey+F=0, revela que cualquier ecuacion de este tipo es un circulo. Completando: (x-D/2)²+(y-E/2)²=r², donde r es el radio. El centro esta en (D/2, E/2). Esto significa que cualquier ecuacion cuadratica en x e y (sin termino xy) describe un circulo, una elipse, una parabola o una hiperbola — las cuatro secciones conicas. Completar el cuadrado es la herramienta que revela la geometria escondida en ecuaciones algebraicas aparentemente complicadas.
La tecnica de completar el cuadrado se extiende naturalmente al calculo integral. Para calcular la integral de 1/(x²+6x+13), completa el cuadrado del denominador: x²+6x+13 = (x+3)²+4. La integral se convierte en la de 1/((x+3)²+4), que tiene la forma estandar de la arcotangente: (1/2)arctan((x+3)/2)+C. Sin completar el cuadrado, muchas integrales con denominadores cuadraticos serian insolubles. La tecnica aprendida en secundaria se convierte en herramienta de calculo universitario.