Introduccion a las ecuaciones diferenciales: que son, tipos, ecuaciones de variables separables y aplicaciones en crecimiento, decaimiento y fisica.
Una ecuacion diferencial relaciona una funcion con sus derivadas. En lugar de resolver para un numero, resuelves para una funcion. La ecuacion dy/dx = y dice que la funcion y es igual a su propia derivada. La solucion es y = Ceˣ (la funcion exponencial), porque la derivada de eˣ es eˣ.
Para dy/dx = ky (crecimiento proporcional): separa variables. dy/y = k dx. Integra ambos lados: ln|y| = kx + C. Exponencia: y = Aeˣᵏ. Si k>0 es crecimiento exponencial, si k<0 es decaimiento. Esto modela poblaciones, radioactividad, temperatura (Ley de enfriamiento de Newton) y carga de condensadores.
F = ma = m d²x/dt² es una ecuacion diferencial de segundo orden. Para una masa en un resorte: d²x/dt² = -(k/m)x. La solucion es x(t) = A cos(ωt+φ), donde ω = raiz(k/m). Esto describe el movimiento armonico simple — la oscilacion del resorte, el pendulo para angulos pequenos, las vibraciones de una cuerda de guitarra y las oscilaciones en circuitos electricos.
Las ecuaciones diferenciales son el lenguaje de la fisica. Las 4 ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son ecuaciones diferenciales parciales que describen como viajan los campos electricos y magneticos — incluyendo la luz. La ecuacion de onda de Schrodinger es una EDP que gobierna el comportamiento cuantico de todas las particulas subatomicas. La ecuacion de calor, las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos y la relatividad general de Einstein son todas ecuaciones diferenciales. Dominar las bases es el primer paso hacia la fisica matematica moderna.
La ecuacion logistica, dy/dt = ry(1-y/K), es una ecuacion diferencial que modela el crecimiento con limite de capacidad K. A diferencia del crecimiento exponencial puro, la ecuacion logistica satura cuando la poblacion se acerca a K. Esta ecuacion modela el crecimiento de bacterias en un cultivo, la adopcion de tecnologias (S-curve del iPhone), la propagacion de rumores, el contagio de enfermedades cuando hay inmunidad de rebaño y el crecimiento de plantas en un campo. La solucion y(t)=K/(1+Ce^(-rt)) tiene la forma de S caracteristica de los fenomenos de difusion que eventualmente se saturan.
La ecuacion de onda d²u/dt²=c²d²u/dx² describe las vibraciones de cuerdas de guitarra, la propagacion de sonido, las ondas en la superficie del agua y las ondas electromagneticas. La solucion es una superposicion de senos y cosenos — exactamente las funciones trigonometricas. La descomposicion de cualquier señal en sus componentes sinusoidales (series de Fourier) es la herramienta que permite analizar el timbre de un instrumento musical, filtrar el ruido de una señal de audio y comprimir archivos de sonido en MP3. Las ecuaciones diferenciales conectan la trigonometria basica con el procesamiento de señales moderno.