Aprende la funcion exponencial f(x)=a^x: como crece, el numero e, crecimiento y decaimiento exponencial. Con ejemplos de poblacion e interes compuesto.
La funcion exponencial tiene la forma f(x) = aˣ, donde a>0 y a≠1 es la base. La variable x esta en el exponente — esto la diferencia completamente de las funciones polinomicas donde x esta en la base. Para a=2: f(x)=2ˣ. f(0)=1, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=8, f(10)=1024. Crece muy rapido.
La funcion f(x)=eˣ donde e≈2.71828 es la exponencial natural. Es especial porque es la unica funcion cuya derivada es ella misma: d/dx(eˣ)=eˣ. Aparece en crecimiento continuo, interes compuesto continuo, distribucion normal, ondas electromagneticas y la ecuacion de Schrodinger de la mecanica cuantica. Su inversa es el logaritmo natural ln(x).
Crecimiento: P(t) = P₀ × eʳᵗ. Una bacteria se duplica cada hora: P(t)=1×2ᵗ. Despues de 10 horas: 2¹⁰=1024 bacterias. Decaimiento: el carbono-14 tiene vida media de 5730 años. Cantidad restante: Q(t)=Q₀×(0.5)^(t/5730). Despues de 11460 años (2 vidas medias): Q=Q₀×0.25 (queda el 25%).
El crecimiento exponencial de la inteligencia artificial, el numero de transistores por chip (Ley de Moore), los seguidores de redes sociales exitosas y la propagacion de virus siguen todos funciones exponenciales. La dificultad de intuir el crecimiento exponencial es una de las razones por la que subestimamos tanto el impacto inicial de tecnologias disruptivas. Una funcion exponencial parece lenta al principio (el inicio de la curva) y luego explota — exactamente como internet, los smartphones y la IA generativa.
$10,000 al 8% anual: M=$10,000×(1.08)ᵗ. En 10 años: $10,000×1.08¹⁰=$10,000×2.159=$21,590.
Una bacteria se divide cada hora. Empezando con 100: después de t horas hay 100×2ᵗ. A las 5 horas: 100×32=3,200 bacterias.
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Lineal: crece a ritmo constante (suma fija). Exponencial: crece a ritmo proporcional (multiplica por factor fijo). 2,4,6,8 es lineal. 2,4,8,16 es exponencial.
Porque aˣ>0 para cualquier x real cuando a>0. No existe un x finito que haga aˣ=0.
e≈2.718 es la base natural. La función eˣ es su propia derivada, propiedad única. Es fundamental en cálculo, física y estadística.
Una función exponencial tiene la forma f(x) = aˣ donde la variable x está en el exponente. Modela crecimientos o decrecimientos muy rápidos: interés compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radiactivo.
f(x)=2ˣ
x: 0,1,2,3,4
f: 1,2,4,8,16
Se duplica cada vez.
f(x)=(1/2)ˣ
x: 0,1,2,3,4
f: 1,½,¼,⅛,1/16
Se reduce a la mitad.
Base e ≈ 2.718: base natural de los exponenciales. f(x)=eˣ
Dominio: todos los reales (−∞, ∞)
Rango: solo positivos (0, ∞)
Asíntota: y=0 (el eje x, pero nunca lo toca)
Interés compuesto: M = P(1+r)ⁿ
La "regla del 72" es un truco práctico: para saber en cuántos años se duplica un capital, divide 72 entre la tasa de interés anual. Al 6% anual: 72÷6=12 años. Al 12% anual: 72÷12=6 años. Esta regla funciona bien para tasas entre 1% y 20%.