Aprende las sucesiones geometricas: formula del termino n, suma de los primeros n terminos y la suma infinita. Con ejemplos de interes compuesto y Fibonacci.
En una sucesion geometrica cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razon (r). 2, 6, 18, 54, 162... tiene r=3. 100, 50, 25, 12.5... tiene r=0.5. Si r>1 la sucesion crece. Si 0 aₙ = a₁ × r^(n-1). Para 2,6,18,54...: a₁=2, r=3. El termino 6: a₆ = 2×3⁵ = 2×243 = 486. El termino 10: 2×3⁹ = 2×19683 = 39366. Sₙ = a₁ × (1-rⁿ) / (1-r) para r≠1. Para los primeros 5 terminos de 2,6,18,54,162: S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(1-243)/(-2) = 2×(-242)/(-2) = 242. Verificacion: 2+6+18+54+162=242 ✓. Si |r|<1, la suma de infinitos terminos converge: S∞ = a₁/(1-r). Para 1+1/2+1/4+1/8+...: a₁=1, r=1/2. S∞ = 1/(1-0.5) = 2. La serie infinita suma exactamente 2. Esta es la resolucion matematica de la paradoja de Zenon — la suma de infinitas distancias cada vez mas pequeñas puede ser un numero finito. Las sucesiones geometricas modelan el interes compuesto (el saldo crece con razon r=1+tasa cada periodo) y el crecimiento poblacional. Si una ciudad tiene 1 millon de habitantes y crece al 3% anual, la poblacion en el año n es 1,000,000 × (1.03)^(n-1). Es la misma formula que la sucesion geometrica. El crecimiento exponencial — que da titulares de noticias durante pandemias o debates de IA — es matematicamente identico a una sucesion geometrica.Formula del Termino n
Suma de los Primeros n Terminos
Suma Infinita — Cuando r es Menor que 1
Una bacteria se divide cada hora. Empieza con 100. a₁=100, r=2. Después de 8 horas: a₉=100×2⁸=100×256=25,600 bacterias.
$1,000 al 10% anual: 1,000; 1,100; 1,210; 1,331... a₁=1,000, r=1.1. En 10 años: a₁₁=1,000×1.1¹⁰=$2,594.
Sí. Con r=−2: 1,−2,4,−8,16... Los términos alternan de signo. Es una sucesión geométrica válida.
Sí. r=0.5: 16,8,4,2,1,0.5... Es una sucesión decreciente que converge hacia 0.
Son lo mismo. La sucesión geométrica es el crecimiento exponencial discreto (datos en pasos). La función f(x)=a×rˣ es la versión continua.
La sucesión geométrica modela el crecimiento exponencial. Una hoja de papel tiene ≈0.1mm de grosor; doblada 42 veces alcanzaría la Luna. Esto ilustra el poder del crecimiento exponencial: cada paso multiplica, no suma. La suma infinita converge a 2 cuando |r|<1.