Aprende las sucesiones geometricas: formula del termino n, suma de los primeros n terminos y la suma infinita. Con ejemplos de interes compuesto y Fibonacci.
En una sucesion geometrica cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razon (r). 2, 6, 18, 54, 162... tiene r=3. 100, 50, 25, 12.5... tiene r=0.5. Si r>1 la sucesion crece. Si 0 aₙ = a₁ × r^(n-1). Para 2,6,18,54...: a₁=2, r=3. El termino 6: a₆ = 2×3⁵ = 2×243 = 486. El termino 10: 2×3⁹ = 2×19683 = 39366. Sₙ = a₁ × (1-rⁿ) / (1-r) para r≠1. Para los primeros 5 terminos de 2,6,18,54,162: S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(1-243)/(-2) = 2×(-242)/(-2) = 242. Verificacion: 2+6+18+54+162=242 ✓. Si |r|<1, la suma de infinitos terminos converge: S∞ = a₁/(1-r). Para 1+1/2+1/4+1/8+...: a₁=1, r=1/2. S∞ = 1/(1-0.5) = 2. La serie infinita suma exactamente 2. Esta es la resolucion matematica de la paradoja de Zenon — la suma de infinitas distancias cada vez mas pequeñas puede ser un numero finito. Las sucesiones geometricas modelan el interes compuesto (el saldo crece con razon r=1+tasa cada periodo) y el crecimiento poblacional. Si una ciudad tiene 1 millon de habitantes y crece al 3% anual, la poblacion en el año n es 1,000,000 × (1.03)^(n-1). Es la misma formula que la sucesion geometrica. El crecimiento exponencial — que da titulares de noticias durante pandemias o debates de IA — es matematicamente identico a una sucesion geometrica.Formula del Termino n
Suma de los Primeros n Terminos
Suma Infinita — Cuando r es Menor que 1
El interes compuesto es una sucesion geometrica discreta. Si inviertes $10,000 al 8% anual, la secuencia de saldos es: $10,000, $10,800, $11,664, $12,597... Esta sucesion tiene a₁=$10,000 y r=1.08. El saldo despues de n años es a₁×r^(n-1). La suma acumulada de depositos mensuales de $1,000 al 1% mensual durante 12 meses es S₁₂=1000×(1.01^12-1)/0.01≈$12,683. Esta formula, basada directamente en la suma de sucesion geometrica, es como los bancos calculan el valor futuro de una anualidad.
Las sucesiones geometricas con razon entre 0 y 1 tienen una suma infinita finita — una de las ideas matematicas mas bellas. La suma 1+1/2+1/4+1/8+... = 2. La suma 1+1/3+1/9+1/27+... = 3/2. En general, para a₁=1 y |r|<1: S∞=1/(1-r). Esta convergencia de series infinitas fue la clave para que Newton y Leibniz desarrollaran el calculo integral: una integral es el limite de una suma de rectangulos infinitamente delgados, que converge igual que estas series geometricas cuando las sumas tienen infinitos terminos cada vez mas pequeños.
Para identificar si una sucesion es geometrica, calcula los cocientes entre terminos consecutivos. Si todos los cocientes son iguales, es geometrica. Para 2, 6, 18, 54: 6/2=3, 18/6=3, 54/18=3. Si. La razon es r=3. Para calcular el termino 20: a20 = 2 x 3 elevado a la 19 = 2 x 1162261467 = 2324522934. Este numero enorme ilustra porque el crecimiento geometrico con razon mayor que 1 supera rapidamente al crecimiento aritmetico para valores de n suficientemente grandes.