Aprende las sucesiones geometricas: formula del termino n, suma de los primeros n terminos y la suma infinita. Con ejemplos de interes compuesto y Fibonacci.
En una sucesion geometrica cada termino se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razon (r). 2, 6, 18, 54, 162... tiene r=3. 100, 50, 25, 12.5... tiene r=0.5. Si r>1 la sucesion crece. Si 0
Formula del Termino n
aₙ = a₁ × r^(n-1). Para 2,6,18,54...: a₁=2, r=3. El termino 6: a₆ = 2×3⁵ = 2×243 = 486. El termino 10: 2×3⁹ = 2×19683 = 39366.
1,2,4,8... a₆
32
3,6,12,24... a₅
48
a₁=5, r=3, a₄
135
100,50,25... a₄
12.5
Suma de los Primeros n Terminos
Sₙ = a₁ × (1-rⁿ) / (1-r) para r≠1. Para los primeros 5 terminos de 2,6,18,54,162: S₅ = 2×(1-3⁵)/(1-3) = 2×(1-243)/(-2) = 2×(-242)/(-2) = 242. Verificacion: 2+6+18+54+162=242 ✓.
Suma Infinita — Cuando r es Menor que 1
Si |r|<1, la suma de infinitos terminos converge: S∞ = a₁/(1-r). Para 1+1/2+1/4+1/8+...: a₁=1, r=1/2. S∞ = 1/(1-0.5) = 2. La serie infinita suma exactamente 2. Esta es la resolucion matematica de la paradoja de Zenon — la suma de infinitas distancias cada vez mas pequeñas puede ser un numero finito.
Las sucesiones geometricas modelan el interes compuesto (el saldo crece con razon r=1+tasa cada periodo) y el crecimiento poblacional. Si una ciudad tiene 1 millon de habitantes y crece al 3% anual, la poblacion en el año n es 1,000,000 × (1.03)^(n-1). Es la misma formula que la sucesion geometrica. El crecimiento exponencial — que da titulares de noticias durante pandemias o debates de IA — es matematicamente identico a una sucesion geometrica.
Sí. Con r=−2: 1,−2,4,−8,16... Los términos alternan de signo. Es una sucesión geométrica válida.
¿Puede la razón ser un decimal?
Sí. r=0.5: 16,8,4,2,1,0.5... Es una sucesión decreciente que converge hacia 0.
¿Cuál es la diferencia entre sucesión geométrica y crecimiento exponencial?
Son lo mismo. La sucesión geométrica es el crecimiento exponencial discreto (datos en pasos). La función f(x)=a×rˣ es la versión continua.
2,6,18,54... Razón
r=3
Término 5 de 2,6,18,54...
162
3,12,48,192... Siguiente
768
Razón de 5,10,20,40
r=2
Fórmula: aₙ=a₁×rⁿ⁻¹
a₅=3×2⁴=48
Suma de 3+6+12+24+48
93
Bacteria: 100, dobla c/hr. ¿A 6h?
6,400
¿r=1 es geométrica?
Sí, constante
Papel doblado 42 veces. ¿Altura?
Más que CDMX-Saturno
½,¼,⅛,1/16... tipo
Decreciente |r|<1
Suma infinita: 1+1/2+1/4+...
2
Razón negativa: 3,−6,12,−24
r=−2
La sucesión geométrica modela el crecimiento exponencial. Una hoja de papel tiene ≈0.1mm de grosor; doblada 42 veces alcanzaría la Luna. Esto ilustra el poder del crecimiento exponencial: cada paso multiplica, no suma. La suma infinita converge a 2 cuando |r|<1.
Sucesiones — Encontrar el patron
Una sucesion es una lista de numeros en un orden especifico, donde cada termino se relaciona con el anterior segun una regla. Identificar patrones numericos es una de las habilidades mas evaluadas en el COMIPEMS de matematicas.
Tipo
Regla de formacion
Ejemplo
Formula del termino n
Aritmetica
Se suma o resta la misma cantidad (razon)
2, 5, 8, 11, 14... (razon = +3)
aₙ = a₁ + (n-1)d donde d = razon
Geometrica
Se multiplica o divide por la misma cantidad (razon)
2, 6, 18, 54... (razon = ×3)
aₙ = a₁ × r^(n-1) donde r = razon
Fibonacci
Cada termino es la suma de los dos anteriores
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
Cuadrados perfectos
Los cuadrados de los numeros naturales
1, 4, 9, 16, 25, 36...
aₙ = n²
Cubos perfectos
Los cubos de los numeros naturales
1, 8, 27, 64, 125...
aₙ = n³
En la sucesion 3, 7, 11, 15, 19... ¿cual es el termino 10?
Sucesion aritmetica con a₁=3 y d=4. Formula: aₙ = a₁ + (n-1)d = 3 + (10-1)×4 = 3 + 36 = 39. Verificacion: 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 — el 10mo termino es 39 ✓
Sucesiones — Patrones en la naturaleza y las matematicas
Las sucesiones matematicas no son solo ejercicios abstractos — aparecen en la naturaleza (los espirales de los girasoles siguen Fibonacci), en la tecnologia (el interes compuesto es una sucesion geometrica), y en el arte (las proporciones de la arquitectura clasica). Identificar patrones es una de las habilidades cognitivas mas valoradas en matematicas y en la vida.
Tipo de sucesion
Formula general
Ejemplo
Suma de los n primeros terminos
Aritmetica (suma constante)
aₙ = a₁ + (n−1)d
d = diferencia comun
2, 5, 8, 11, 14... (d=3)
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n(2a₁ + (n−1)d)/2
Geometrica (multiplicacion constante)
aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
r = razon comun
3, 6, 12, 24, 48... (r=2)
Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) si r≠1
Fibonacci
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a₁=1, a₂=1
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55...
No tiene formula cerrada simple — es recursiva
Cuadratica (diferencias segundas constantes)
aₙ = an² + bn + c
1,4,9,16,25... (cuadrados perfectos)
Cuadrados: Sₙ = n(n+1)(2n+1)/6
Armonica (reciprocos de aritmetica)
aₙ = 1/(a + (n−1)d)
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5...
La serie armonica diverge (suma → infinito)
La sucesion geometrica en la vida real — El interes compuesto
Si inviertes $1,000 a una tasa del 10% anual, despues de n anos tienes:
Año 1: $1,100 | Año 2: $1,210 | Año 3: $1,331 | Año 4: $1,464 | Año 10: $2,594
Formula: Monto = 1000 × (1.10)ⁿ — una sucesion geometrica con a₁=1000 y r=1.10
El interes compuesto es el instrumento financiero mas poderoso que existe — Einstein lo llamo "la octava maravilla del mundo".
En la sucesion geometrica 2, 6, 18, 54... ¿cuanto vale el 6to termino?