Aprende la sucesion de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21... cada numero es la suma de los dos anteriores. Con la proporcion aurea y sus apariciones en la naturaleza.
La sucesion de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... La regla es simple: cada numero es la suma de los dos anteriores. 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13... Se puede iniciar con 0,1 o con 1,1 segun la convencion. La sucesion fue descrita por Leonardo de Pisa (apodado Fibonacci) en su libro Liber Abaci en 1202, aunque era conocida en India siglos antes.
Cuando divides un numero de Fibonacci entre el anterior, el resultado se aproxima cada vez mas a 1.618033... llamado la proporcion aurea o numero fi (fi). 89/55=1.6181, 144/89=1.6179. Esta proporcion, considerada la mas estetica por artistas y arquitectos, aparece en el Partenon de Atenas, las obras de Leonardo da Vinci, y en el diseno de muchos logos modernos como Apple y Twitter.
La sucesion de Fibonacci aparece constantemente en la naturaleza: los girasoles tienen 34 espirales en un sentido y 55 en el otro (dos numeros consecutivos de Fibonacci). Las pinas de pino tienen 8 espirales en un sentido y 13 en el otro. Los petales de muchas flores son numeros de Fibonacci: lirios tienen 3, delphiniums tienen 8, cempasuchil tiene 13. Las conchas de nautilus crecen en espiral segun la proporcion aurea.
La suma de los primeros n numeros de Fibonacci es F(n+2)-1. La suma de 1+1+2+3+5+8+13=33=F(9)-1=34-1. Cualquier numero de Fibonacci se puede calcular con la formula de Binet: F(n) = (fi^n - psi^n) / raiz(5), donde fi=(1+raiz(5))/2 y psi=(1-raiz(5))/2. Esta formula increible permite calcular el millon-esimo numero de Fibonacci directamente.
La conexion entre Fibonacci y la naturaleza tiene una explicacion biologica: las plantas crecen anadiendo nuevos brotes en angulos relacionados con phi para maximizar la exposicion al sol y minimizar el traslape. El angulo optimo es 360/phi2 = 137.5 grados, llamado el angulo aureo. Si las semillas de un girasol crecen en ese angulo exacto, naturalmente forman espirales que resultan ser numeros de Fibonacci consecutivos. La naturaleza descubrio Fibonacci por optimizacion, no por diseno.
En finanzas, los traders usan niveles de Fibonacci (23.6%, 38.2%, 50%, 61.8%) para predecir hasta donde puede retroceder un precio antes de continuar su tendencia. Estos porcentajes vienen directamente de las relaciones entre numeros de Fibonacci. 38.2% = 1 - 61.8%, y 61.8% = 1/phi. Aunque la efectividad del analisis de Fibonacci en bolsa es debatida, es uno de los indicadores tecnicos mas usados globalmente.
La identidad de Cassini es una propiedad sorprendente de Fibonacci: F(n-1) x F(n+1) - F(n)^2 = -1 para n impar, y 1 para n par. Por ejemplo: F(4)xF(6) - F(5)^2 = 3x8 - 5^2 = 24-25 = -1. Esta identidad permite construir la paradoja del cuadrado que desaparece: un cuadrado de 8x8 (64 cuadraditos) se puede reordenar para parecer un rectangulo de 5x13 (65 cuadraditos). Un cuadradito parece aparecer de la nada — la inexactitud viene de que las piezas no encajan perfectamente.