Aprende las sucesiones aritmeticas: la formula del termino n, la suma de los primeros n terminos y como identificar la razon comun. Con ejercicios.
Una sucesion aritmetica es una lista de numeros donde la diferencia entre terminos consecutivos es siempre la misma (la razon o diferencia comun d). 3, 7, 11, 15, 19... tiene d=4 (cada termino es 4 mas que el anterior). 50, 45, 40, 35... tiene d=-5 (decrece).
aₙ = a₁ + (n-1) × d, donde a₁ es el primer termino, n es la posicion y d la diferencia. Para la sucesion 3,7,11,15...: a₁=3, d=4. El termino 10: a₁₀ = 3 + (10-1)×4 = 3+36 = 39. El termino 50: a₅₀ = 3+49×4 = 199.
Sₙ = n × (a₁ + aₙ) / 2 = n × (primer + ultimo) / 2. Para los primeros 10 terminos de 3,7,11...: S₁₀ = 10×(3+39)/2 = 10×21 = 210. Esto es la formula que Gauss uso a los 9 años para sumar del 1 al 100: S₁₀₀ = 100×(1+100)/2 = 5050.
Si a₃=11 y a₇=27: diferencia total = 27-11=16 en 4 pasos (de posicion 3 a 7). d=16/4=4. Con d=4 y a₃=11: a₁=11-2×4=3. Sucesion: 3,7,11,15,19,23,27...
Las sucesiones aritmeticas modelan muchos fenomenos de crecimiento lineal: si ahorras $500 mas cada mes que el anterior (ahorro mes 1=$500, mes 2=$1,000, mes 3=$1,500...), la sucesion de ahorros es aritmetica con d=$500. El ahorro acumulado en n meses es la suma de la sucesion. Entender sucesiones aritmeticas es entender el crecimiento lineal en todos sus contextos.
Las sucesiones aritmeticas modelan perfectamente el crecimiento lineal con depositos periodicos. Si ahorras $1,000 el primer mes y aumentas $200 cada mes siguiente, la secuencia es $1,000, $1,200, $1,400, $1,600... Esta es la sucesion aritmetica con a₁=1000 y d=200. El ahorro total acumulado despues de 12 meses es S₁₂=12×(1000+3200)/2=12×2100=$25,200. La formula de suma de sucesion aritmetica es exactamente la herramienta para calcular el total acumulado de cualquier proceso que crece linealmente.
Las sucesiones aritmeticas tienen una relacion directa con las funciones lineales. Si la sucesion tiene primer termino a₁ y diferencia comun d, la funcion correspondiente es f(n)=a₁+(n-1)d=dn+(a₁-d). Esta es exactamente la forma y=mx+b donde m=d (la pendiente es la diferencia comun) y b=a₁-d (el intercepto). La sucesion aritmetica es la funcion lineal evaluada en numeros enteros positivos. Esta conexion explica por que ambos conceptos se estudian en secundaria — son el mismo fenomeno visto desde angulos diferentes.
Para identificar si una sucesion es aritmetica, calcula las diferencias entre terminos consecutivos. Si todas las diferencias son iguales, es aritmetica. Para 5, 9, 13, 17: 9-5=4, 13-9=4, 17-13=4. Si. Para 1, 2, 4, 8: 2-1=1, 4-2=2, 8-4=4. Diferencias distintas, no es aritmetica (es geometrica). Para 3, 7, 10, 14: 4, 3, 4. Diferencias distintas, no es ninguna de las dos. Este test rapido de diferencias es el primer paso para clasificar cualquier sucesion.