Aprende qué es un logaritmo, cómo se relaciona con las potencias, propiedades del log y calculadora. log base 10 y logaritmo natural.
El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué potencia debo elevar la base para obtener este número? log_b(x) = y significa b^y = x. Ejemplo: log₁₀(1000) = 3 porque 10³ = 1000.
Los más usados: log₁₀ (logaritmo decimal, se escribe solo "log") y ln (logaritmo natural, base e≈2.718). Las calculadoras científicas tienen ambas teclas.
Los logaritmos se usan en la escala Richter de terremotos (cada punto = 10x más energía), la escala de decibeles para sonido (cada 10 dB = 10x más intensidad), el pH de soluciones químicas, y el análisis de crecimiento exponencial en biología, economía y epidemiología.
La escala Richter de terremotos usa logaritmos: un sismo de magnitud 7 libera 10 veces más energía que uno de magnitud 6, y 100 veces más que uno de magnitud 5. Los decibeles del sonido también son logarítmicos: 80 dB (tráfico) es 10 veces más intenso que 70 dB (conversación normal). El pH mide la acidez con logaritmos: agua pura tiene pH 7, jugo de limón pH 2 (100,000 veces más ácido).
En finanzas, los logaritmos aparecen en el cálculo del tiempo para duplicar una inversión. Con la regla del 72: años ≈ 72/tasa%. Matemáticamente exacto: años = ln(2)/ln(1+r) donde r es la tasa decimal. Para una tasa del 8%: ln(2)/ln(1.08) = 0.693/0.077 ≈ 9 años.
Para logaritmos base 10 de potencias de 10: log(10)=1, log(100)=2, log(1000)=3, log(0.1)=-1. Para otros: log(50) ≈ log(100/2) = log(100)-log(2) = 2-0.301 = 1.699. Basta con memorizar log(2)≈0.301, log(3)≈0.477, log(7)≈0.845 para estimar la mayoría de logaritmos usando las propiedades de suma y resta.
Para calcular logaritmos en cualquier base usando una calculadora que solo tiene log₁₀ o ln, usa la fórmula de cambio de base: log_b(x) = log(x) / log(b). Por ejemplo, log₂(16) = log(16)/log(2) = 1.204/0.301 = 4. Verificación: 2⁴=16 ✅. Esta fórmula convierte cualquier logaritmo a base 10 o natural, los únicos que tienen tecla en calculadora.
Ejercicios para practicar: ¿Cuántos años tarda $5,000 en llegar a $20,000 al 7% anual compuesto? Necesitas resolver 5000×1.07^t=20000, entonces 1.07^t=4, t=log(4)/log(1.07)=1.386/0.0294≈47 años. Los logaritmos son la herramienta para resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente.
El logaritmo natural (ln) tiene base e≈2.71828. Se usa en matemáticas avanzadas, cálculo diferencial e integral, y en modelos de crecimiento y decaimiento. ln(e)=1, ln(1)=0, ln(e²)=2. La relación entre ln y log₁₀ es: ln(x) = log(x) / log(e) = log(x) / 0.4343 ≈ 2.303 × log(x). Por eso ln(10)≈2.303.
Los logaritmos también se usan en la teoría de información: la información de un evento con probabilidad p se mide en bits como -log₂(p). Una moneda justa (p=½) da -log₂(½)=1 bit de información. Un dado (p=⅙) da log₂(6)≈2.58 bits. Cuanto más improbable el evento, más información aporta cuando ocurre — eso es la base de la entropía de Shannon.