Calcula el area del pentagono regular usando la formula con apotema o la formula directa en funcion del lado. Con ejemplos y aplicaciones.
El pentagono regular tiene 5 lados iguales. Hay dos formas de calcular su area: Con el apotema (a): A = Perimetro × apotema / 2 = (5l × a) / 2. Solo con el lado (l): A = (l² × raiz(5(5+2raiz(5)))) / 4 ≈ 1.720 × l².
El apotema es la distancia del centro al punto medio de un lado (perpendicular al lado). Para el pentagono regular: a = l / (2 × tan(36°)) = l / (2 × 0.7265) ≈ l × 0.6882. Para l=10: a ≈ 6.882 cm. Con esto: A = (5×10 × 6.882)/2 = 50×6.882/2 = 172.1 cm². Consistente con la formula directa.
Los angulos interiores del pentagono regular son (5-2)×180/5 = 108° cada uno. El perimetro es P=5l. La suma de angulos interiores es 540°. El pentagono aparece en la naturaleza en las flores de cinco petalos, las estrellas de mar y los equinodermos. La estrella de cinco puntas (pentagrama) se forma conectando los vertices alternos del pentagono regular — sus proporciones estan relacionadas con el numero aureo phi=1.618.
El pentagono regular es la base del dodecaedro, uno de los cinco solidos platonicos: el dodecaedro tiene 12 caras pentagonales. Es el solido platonico menos conocido pero con propiedades fascinantes — sus 12 caras pentagonales tienen relaciones directas con el numero aureo en todas sus medidas. Los cristales de algunas aleaciones metalicas tienen simetria icosahedral (relacionada con el pentagono) que fue descubierta en 1984, algo que se creia imposible segun la cristalografia clasica.
El numero aureo phi aparece en el pentagono regular en multiples lugares. La diagonal del pentagono regular dividida entre el lado es exactamente phi=1.618. Los diagonales del pentagono se cortan en la proporcion aurea. El pentagrama (estrella de cinco puntas) contiene un pentagono mas pequeno en el centro cuyo lado es 1/phi² del original. Esto significa que en el pentagrama hay infinitos pentagonos y pentagramas anidados en proporcion aurea, creando la estructura autosimilar mas famosa de la geometria clasica.
El dodecaedro regular, uno de los cinco solidos de Platon, tiene 12 caras pentagonales regulares. Platon lo asocio con el cosmos y el quinto elemento (la quintaesencia). En cristalografia, se penso durante siglos que los solidos con simetria pentagonal eran imposibles en la naturaleza porque los cristales no pueden tener simetria de orden 5. En 1984, Dan Shechtman descubrio cuasicristales con simetria icosahedral (relacionada con el pentagono) — gano el Nobel de Quimica en 2011. El pentagono regular, considerado imposible en los cristales, resulto ser posible en una nueva clase de materia.