Descomponer un número en factores primos es dividirlo en multiplicación de números primos. Es la base del MCD, MCM y simplificación de fracciones.
Los factores primos de un número son los números primos que multiplicados entre sí dan ese número. Por ejemplo, los factores primos de 12 son 2 × 2 × 3, porque 2×2×3 = 12 y los tres son números primos.
Todo número entero mayor que 1 puede expresarse de forma única como producto de números primos (Teorema Fundamental de la Aritmética). Esta descomposición es siempre la misma sin importar el método que uses.
La descomposición en factores primos tiene muchas aplicaciones: calcular el MCD y MCM de dos números, simplificar fracciones, encontrar raíces cuadradas exactas y resolver problemas de divisibilidad.
El método más sistemático es dividir el número entre el primo más pequeño posible, una y otra vez hasta llegar a 1.
El árbol de factores es un diagrama visual. Escribe el número arriba y traza dos ramas: un factor primo a la izquierda y el cociente a la derecha. Repite en cada rama no prima hasta que todas las hojas sean primas.
Ejemplo: árbol de 36 → 36 = 2 × 18 → 18 = 2 × 9 → 9 = 3 × 3. Las hojas: 2, 2, 3, 3. Entonces 36 = 2² × 3².
Una vez que tienes los factores primos de dos números, calcular MCD y MCM es directo:
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Ejemplo 360: par → ÷2. 3+6+0=9 → ÷3. Termina en 0 → ÷5. Estos tres factores ya aparecen en la descomposición.
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Por definición matemática. El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que cada entero >1 tiene una descomposición en primos única. Si 1 fuera primo, esa unicidad se rompería: 6=2×3=1×2×3=1²×2×3...
Sí, demostrado por Euclides hace 2,300 años. Su prueba: si hubiera un número finito de primos, su producto +1 no sería divisible por ninguno de ellos, contradicción.
Sí, eso garantiza el Teorema Fundamental de la Aritmética. No importa el orden en que factorices, siempre obtendrás los mismos factores primos con los mismos exponentes.