Introduccion a la geometria analitica: ecuacion de la recta, circunferencia, parabola y sus propiedades en el plano cartesiano. Con ejemplos y ejercicios.
La geometria analitica une el algebra (ecuaciones) con la geometria (figuras) a traves del plano cartesiano. Cada figura geometrica tiene una ecuacion algebraica que la describe completamente, y cada ecuacion algebraica de cierto tipo corresponde a una figura geometrica especifica. Descartes la fundo en el siglo XVII.
Pendiente-intercepto: y = mx+b (m=pendiente, b=intercepto). Forma general: Ax+By+C=0. Punto-pendiente: y-y₁=m(x-x₁). Para la recta por (2,3) con pendiente 4: y-3=4(x-2) → y=4x-5.
La circunferencia con centro (h,k) y radio r tiene ecuacion: (x-h)² + (y-k)² = r². Para centro (3,-1) y radio 5: (x-3)²+(y+1)²=25. El punto (7,-1) esta en la circunferencia porque (7-3)²+(-1+1)²=16+0=16≠25. No esta. El punto (3,4): (3-3)²+(4+1)²=0+25=25. Si esta.
La parabola con vertice en el origen y eje vertical tiene ecuacion x²=4py, donde p es la distancia del vertice al foco. Para x²=8y: 4p=8, p=2. El foco esta en (0,2), la directriz en y=-2. La forma general con vertice (h,k): (x-h)²=4p(y-k). La parabola y=ax²+bx+c que estudias en algebra es esta misma figura, escrita de otra manera.
La geometria analitica es la fundacion de la computacion grafica. Cada circulo, rectangulo, linea y curva en una pantalla se almacena como ecuacion algebraica, no como lista de pixeles. Cuando haces zoom en una imagen vectorial (SVG, PDF), la figura se recalcula a cualquier escala sin pixelarse porque es una ecuacion, no una imagen. Los programas de diseño como Illustrator o Figma son esencialmente interfaces para manipular ecuaciones de geometria analitica.
Las coordenadas GPS son latitud y longitud — exactamente como el plano cartesiano. La distancia entre dos puntos GPS usa la misma fórmula.
Cada píxel en una pantalla tiene coordenadas (x,y). Los videojuegos calculan posiciones, colisiones y movimientos usando geometría analítica.
No, es infinito en todas las direcciones. Pero en papel o pantalla solo mostramos una parte.
ax+by+c=0. Por ejemplo, 2x−y+1=0 es la misma que y=2x+1. Son formas equivalentes de la misma recta.
GPS, diseño gráfico, arquitectura (planos), física (movimiento), ingeniería (estructuras), videojuegos, robótica.
d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²] | Entre (1,2) y (4,6): d=√(9+16)=5
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | Entre (0,0) y (4,6): M=(2,3)
y = mx+b | m: pendiente, b: intercepto en Y
La geometría analítica une el álgebra con la geometría. Cada punto es un par (x,y), cada recta es una ecuación. Esta unión permite resolver problemas geométricos con álgebra y viceversa. Es la base del cálculo diferencial e integral.