Aprende la diferencia entre permutaciones (importa el orden) y combinaciones (no importa). Con las formulas nPr y nCr, ejemplos y calculadora.
Permutacion: el orden importa. El codigo 123 es diferente a 321. Combinacion: el orden no importa. El equipo {Ana, Bob, Carlos} es el mismo que {Carlos, Ana, Bob}. La regla: si cambiar el orden da un resultado diferente, es permutacion; si no, es combinacion.
Cuantas formas de ordenar r elementos tomados de n distintos: nPr = n! / (n-r)!. En cuantos ordenes pueden llegar los primeros 3 de 8 corredores? 8P3 = 8!/(8-3)! = 8×7×6 = 336 formas. Para ordenar 5 libros en 5 lugares: 5P5 = 5! = 120 ordenes.
Cuantos grupos de r elementos se pueden formar de n distintos: nCr = n! / (r! × (n-r)!). Cuantos grupos de 3 de 8 estudiantes para un equipo? 8C3 = 8!/(3!×5!) = 56 grupos. Cuantos manos de 5 cartas de una baraja de 52? 52C5 = 2,598,960.
Palabras clave de permutacion: ordenar, arreglar, secuencia, primero/segundo/tercero, contraseña, codigo. Palabras clave de combinacion: grupo, equipo, seleccion, comite, subconjunto. El numero de permutaciones siempre es mayor o igual al de combinaciones: nPr = nCr × r!. Para 5C3=10 y 5P3=60: 60 = 10 × 6 = 10 × 3!.
Las combinaciones son la base del triangulo de Pascal, donde la entrada (n,k) es exactamente nCk. El teorema del binomio (a+b)^n usa coeficientes combinatorios: los coeficientes de (a+b)³ son 1,3,3,1 = 3C0, 3C1, 3C2, 3C3. En probabilidad, las combinaciones calculan el numero de resultados favorables. La probabilidad de sacar exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de moneda: 5C3 × (1/2)^3 × (1/2)^2 = 10/32 = 31.25%.
La diferencia fundamental entre permutaciones y combinaciones es si el orden importa. Si elegimos a Ana, Beto y Carlos para un podio (1°, 2°, 3°) — el orden importa porque Ana-1°/Beto-2° es diferente de Beto-1°/Ana-2°. Esto es una permutación. Si los elegimos solo para un equipo — el orden no importa porque {Ana, Beto, Carlos} es el mismo equipo sin importar en qué orden los mencionamos. Esto es una combinación.
P(n,r) = n! / (n−r)!
De 5 personas, ¿de cuántas formas elegimos presidente, vice y tesorero?
P(5,3) = 5!/(5−3)! = 120/2 = 60
C(n,r) = n! / (r! × (n−r)!)
De 5 personas, ¿de cuántas formas elegimos 3 para un equipo?
C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/12 = 10
5! = 5×4×3×2×1 = 120 | 4! = 24 | 3! = 6 | 2! = 2 | 1! = 1 | 0! = 1
El factorial crece muy rápido: 10! = 3,628,800
• Hay cargos o posiciones (1°, 2°, 3°)
• Se forman contraseñas o códigos
• El primer elegido es diferente del segundo
• Palabras formadas con letras
• Se elige un grupo o equipo
• Se seleccionan sabores o colores
• El orden de selección no cambia el resultado
• Manos de cartas
Permutaciones y combinaciones son la base del conteo y la probabilidad. La regla de oro: si cambiar el orden produce un resultado diferente, usa permutación; si no cambia nada, usa combinación.
Permutaciones y combinaciones son la base del conteo eficiente y la probabilidad clásica. Si tienes que calcular cuántos resultados posibles hay en una situación, lo primero es preguntarte si el orden importa. Si sí → permutación. Si no → combinación. Esta distinción es la que más errores genera en el COMIPEMS. La relación entre ambas es P(n,r) = C(n,r) × r!, es decir, cada combinación genera r! permutaciones al ordenar los elementos seleccionados.
La diferencia clave entre permutaciones y combinaciones es si el orden importa o no. Si eliges 3 jugadores para un equipo de básquetbol, {Ana, Beto, Carmen} es el mismo equipo que {Carmen, Ana, Beto} — el orden no importa → combinación. Pero si eliges al presidente, vicepresidente y tesorero, Ana-presidente es diferente a Beto-presidente → permutación.
El orden SÍ importa
Contraseñas, podios, arreglo de libros
P(n,r) = n! ÷ (n−r)!
El orden NO importa
Equipos, seleccionar personas, lotería
C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!)
5! = 5×4×3×2×1 = 120 | 4! = 24 | 3! = 6 | 2! = 2 | 1! = 1 | 0! = 1
El orden importa (1° ≠ 2° ≠ 3°) → Permutación
P(8,3) = 8! ÷ (8−3)! = 8! ÷ 5! = 8×7×6 = 336 formas
El orden no importa (el mismo equipo en diferente orden) → Combinación
C(10,3) = 10! ÷ (3! × 7!) = (10×9×8) ÷ (3×2×1) = 720 ÷ 6 = 120 equipos
El orden importa (1234 ≠ 4321) → Permutación
P(6,4) = 6×5×4×3 = 360 contraseñas
Permutaciones y combinaciones son la base de la probabilidad y la estadística combinatoria. La regla más importante: si el problema dice "¿de cuántas formas puedes elegir/seleccionar/escoger?" → combinación. Si dice "¿de cuántas formas puedes ordenar/arreglar/asignar cargos?" → permutación.
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