Aprende la diferencia entre permutaciones (importa el orden) y combinaciones (no importa). Con las formulas nPr y nCr, ejemplos y calculadora.
Permutacion: el orden importa. El codigo 123 es diferente a 321. Combinacion: el orden no importa. El equipo {Ana, Bob, Carlos} es el mismo que {Carlos, Ana, Bob}. La regla: si cambiar el orden da un resultado diferente, es permutacion; si no, es combinacion.
Cuantas formas de ordenar r elementos tomados de n distintos: nPr = n! / (n-r)!. En cuantos ordenes pueden llegar los primeros 3 de 8 corredores? 8P3 = 8!/(8-3)! = 8×7×6 = 336 formas. Para ordenar 5 libros en 5 lugares: 5P5 = 5! = 120 ordenes.
Cuantos grupos de r elementos se pueden formar de n distintos: nCr = n! / (r! × (n-r)!). Cuantos grupos de 3 de 8 estudiantes para un equipo? 8C3 = 8!/(3!×5!) = 56 grupos. Cuantos manos de 5 cartas de una baraja de 52? 52C5 = 2,598,960.
Palabras clave de permutacion: ordenar, arreglar, secuencia, primero/segundo/tercero, contraseña, codigo. Palabras clave de combinacion: grupo, equipo, seleccion, comite, subconjunto. El numero de permutaciones siempre es mayor o igual al de combinaciones: nPr = nCr × r!. Para 5C3=10 y 5P3=60: 60 = 10 × 6 = 10 × 3!.
Las combinaciones son la base del triangulo de Pascal, donde la entrada (n,k) es exactamente nCk. El teorema del binomio (a+b)^n usa coeficientes combinatorios: los coeficientes de (a+b)³ son 1,3,3,1 = 3C0, 3C1, 3C2, 3C3. En probabilidad, las combinaciones calculan el numero de resultados favorables. La probabilidad de sacar exactamente 3 caras en 5 lanzamientos de moneda: 5C3 × (1/2)^3 × (1/2)^2 = 10/32 = 31.25%.
El problema del cumpleaños es uno de los resultados mas sorprendentes de las combinaciones. En un grupo de 23 personas, la probabilidad de que dos tengan el mismo cumpleaños es mayor al 50%. Con 70 personas, es mayor al 99.9%. El calculo: P(todos diferentes) = (365/365)×(364/365)×(363/365)×...×(343/365) para 23 personas ≈ 0.493. Por tanto P(al menos dos iguales) = 1-0.493 = 0.507. Este resultado es contraintuitivo porque confundimos la probabilidad de compartir cumpleaños CON una persona especifica (baja) con la probabilidad de que CUALQUIER par en el grupo lo comparta (alta). La matematica de las combinaciones revela verdades que la intuicion siempre falla en captar.
La formula del coeficiente binomial nCr tiene una propiedad notable: nCr = nC(n-r). Elegir 3 de 8 (8C3=56) es igual a elegir 5 de 8 para excluir (8C5=56). Esto tiene sentido: elegir quien entra es lo mismo que elegir quien queda fuera. Esta simetria tambien se refleja en el triangulo de Pascal, donde las entradas son simetricas respecto a la linea central. La identidad de Pascal: nCr + nC(r-1) = (n+1)Cr permite construir el triangulo sumando los dos elementos encima de cada posicion. Estas relaciones hacen que muchos calculos de combinatoria sean mucho mas rapidos que aplicar la formula directamente.