Aprende qué son los números primos, cómo encontrarlos con la Criba de Eratóstenes y sus aplicaciones en criptografía y factorización.
Un número primo es aquel que solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre sí mismo. El 7 es primo porque solo 1×7 da 7. El 6 no es primo porque 2×3 = 6, tiene otros divisores. El 1 no es primo por definición matemática. Los primos son los "átomos" de los números — todos los demás se construyen multiplicándolos.
La criba es un método visual para encontrar todos los primos hasta un número dado. La inventó el matemático griego Eratóstenes hace más de 2,200 años y sigue siendo uno de los algoritmos más elegantes de la historia.
Teorema fundamental de la aritmética: todo número mayor que 1 se puede descomponer de forma única en factores primos.
Teorema de Euclides: hay infinitos números primos. La demostración: si hubiera N primos, el número P=p1×p2×...×pN+1 no sería divisible por ninguno de ellos, así que sería primo él mismo o tendría un factor primo nuevo — contradicción.
Conjetura de Goldbach (1742): todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7 o 5+5. Hasta hoy no ha sido demostrada ni refutada para todos los números.
Los números primos son el fundamento de la criptografía moderna. El algoritmo RSA usa el hecho de que es fácil multiplicar dos primos grandes pero extremadamente difícil factorizar su producto. Un número de 2048 bits tardaría más que la edad del universo en factorizarse con los mejores algoritmos y computadoras disponibles hoy. Los primos, descubiertos hace 2,500 años por los griegos, protegen hoy las comunicaciones digitales de toda la humanidad.
Los primos gemelos son pares que difieren en 2: (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31)... La conjetura de los primos gemelos (1849) afirma que hay infinitos pares de este tipo — es uno de los problemas abiertos más famosos de las matemáticas. En 2013, Yitang Zhang demostró que hay infinitos pares de primos con diferencia menor a 70 millones, un avance enorme; ese número se ha reducido progresivamente a 246 gracias a un esfuerzo colaborativo masivo, con el objetivo final de llegar a 2.
El Teorema de los Números Primos, demostrado en 1896 por Hadamard y de la Vallée-Poussin, dice que la cantidad de primos menores que N es aproximadamente N/ln(N). Hasta el millón hay 78,498 primos, y N/ln(N) ≈ 72,382 — una buena aproximación. Esta densidad decreciente entre números grandes es una de las razones por las que factorizar números enormes es tan difícil.
Naturales (1,2,3...), enteros (...-2,-1,0,1,2...), racionales (fracciones), irracionales (π, √2) y reales (todos los anteriores juntos).
Sí, y es el único primo par. Todos los demás primos son impares, porque cualquier par mayor a 2 es divisible entre 2.
Infinitos. Euclides lo demostró hace más de 2,300 años. Se vuelven más escasos conforme los números crecen, pero nunca se acaban.
Son la base de la criptografía moderna. La seguridad de tus comunicaciones digitales depende de que es muy difícil factorizar números enormes en sus primos.
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